​​Друзья,

Правильный ответ на задачку в предыдущем посте: Марку в среднем понадобиться больше бросков (6), чем Алисе (4).

Этот ответ дали лишь около 16% проголосовавших.

👉 Решение

Мы знаем, что Алиса и Марка бросают монеты, которые выпадают на орле или решке с одинаковой вероятностью (fair coins) – 50%.

Таким образом, в любых двух последовательных бросках комбинация Орел-Решка («ОР») Алисы выпадет с такой же вероятностью, как и Орел-Орел («ОО») Марка.

Поэтому «кажется», что в среднем они оба сделают одинаковое количество бросков.

Но это неверный ответ. В среднем Алисе понадобится всего за 4 броска. Марк сделает 6 бросков – ему в среднем понадобится больше времени. Как странно!

Когда дело доходит до вероятности, наша интуиция часто подводит. Лучший способ справиться с этим — тщательно записать различные возможные результаты. В этом случае удобным и наглядным инструментом решения являются цепи Маркова.

На картинке ниже можно увидеть цепи Маркова для Алисы и Марка (1-2).

Цепь Алисы, например, показывает, что в любой момент она может находиться в одном из 4 возможных «состояний» (от S0 до S3). В каждом состоянии Алиса бросает монету. В зависимости от результата броска («О» - Орел или «Р» - Решка) она переходит или нет в другое состояние.

Например, S0 — это состояние «Старт» - Алиса бросает свою монету. Если выпадает «О», она следует по оранжевой стрелке от S0 (с надписью «О»), которая приведет ее к S1.

В S1 Алиса увидела «О» и надеется, что следующей выпадет «Р» (поэтому что ей нужна комбинация «ОР»).

Если при броске S1 выпадает решка, она переходит в S2 - готовность комбинации «ОР».

Но если выпадает «О», она следует за оранжевой стрелкой, что удерживает ее на самом событии S1.

Теперь разница между Алисой и Марком очевидна. Когда Марк находится на S1 и ему не везет (выпала решка), ему приходится «вернуться к нулю» (в состояние S0) и начать все сначала. Но, как только Алиса окажется в S1, ей больше никогда не придется возвращаться в S0.

Вот почему Марку требуется больше времени! Время от времени, ему приходится начинать все заново.

В цепях Маркова, если мы знаем начальное состояние, мы можем вычислить вероятность пребывания в любом состоянии в любое время (формула 3).

Эта формула является «итеративной». То есть, если мы знаем вероятность пребывания в каждом состоянии в момент «k» (бросок «k»), формула дает нам вероятность каждого состояния в следующий момент «k+1» (на броске «k+1»).

Формула требует построить переходные матрицы M. Чтобы их получить (4), мы просто берем вероятность каждой «стрелки» цепи Маркова и помещаем ее в соответствующий слот матрицы.

Теперь мы можем повторять расчеты, находя вероятности каждого состояния (Pr) на каждом броске k. На картинке (5) можно увидеть расчет вероятностей для первых 4 бросков.

В любой момент, если Алиса или Марк увидели свою комбинацию, они будут в S2 или S3. После 4 бросков Алиса уже имеет вероятность Pr(S2) + Pr(S3) = 3/16 + 1/2 = 68.75% закончить броски. Но у Марка этот шанс составляет только 50%.

Получить среднее кол-во бросков также несложно – это просто формула математического ожидания (6) нахождения в состоянии S2. Делая расчеты в Excel, Python, MATLAB и пр, вы увидите, что эта формула сходится на значении 4 бросков для Алисы и 6 – для Марка.

Поэтому правильный ответ – Марк.

👉 Полезные выводы

Насколько это возможно, нам следует избегать ситуаций, когда один-единственный поворот неудачи может заставить нас начать все сначала. В финансовом планировании эквивалентом этого является отсутствие сбережений (подушки безопасности), медицинского страхования, страхования важного имущества, плохое планирование наследства. В инвестировании - использование слишком большого кредитного плеча, непокрытых опционов и пр.

Поступая таким образом, мы ставим себя в положение, когда краткосрочная волатильность и случайные события могут нас уничтожить, заставляя нас, по сути, начинать с нуля снова и снова.

Отличного воскресенья!

====
Больше таких задачек ищите по #доходъзадачки