​​Друзья,

Правильный ответ на задачку в предыдущем посте: ~44.47%.

Только около 27% респондентов ответили верно.

Не пропустите полезные выводы в конце поста!

👉 Решение

Согласно условиям задачи нам нужно найти максимальный CAGR (среднегодовой темп роста с учетом сложного процента), который может дать нам акция, которая растёт в N-раз за N-лет.

Применяя простую формулу будущей стоимости (FV = PV*(1+i)^n) мы можем записать как формируется будущая стоимость нашей акции:

N$ = $1*(1+CAGR)^N.

Тогда CAGR = (N$/$1)^(1/N)-1 = (N$)^(1/N)-1

Этого достаточно, чтобы, подставляя различные N от 0 до ..., построить функцию CAGR от N, которую вы можете увидеть внизу этого поста, а также в первых комментариях. Вы можете построить такую функцию с помощью Excel, R, Python, MATLAB и пр.

👆 Максимум этой функции CAGR = ~44.47% и будет ответом на задачу. Мы достигаем этого максимума при N = ~2.718 лет. Поэтому правильный ответ: «Max CAGR >= 40%, < 50%».

Более сложный способ решения этой проблемы – дифференциальное исчисление. С помощью такого подхода можно найти более точный ответ и не использовать компьютер.

Здесь у нас есть CAGR как функция N. Производная этой функции измеряет, на сколько быстро изменяется CAGR при изменении N. В первых комментариях к посту вы можете увидеть эту функцию. Когда кривая идет вверх, увеличение N приводит к увеличению GAGR и наоборот. Поэтому точка этой функции, в которой CAGR достигает максимума – ноль. Ее и нужно найти.

Наш CAGR можно представить как CAGR = f(N) = N^(1/N)-1. Найдем производную f(N):

Если математика вам не интересна, пропустите вычисления ниже и перейдите сразу к полезным выводам.

Пусть g(N) = N^(1/N), тогда f(N) = g(N)-1.
Производная f(N) = f’(N) = g’(N)
ln(g(N)) = 1/N*ln(N)
1/g(N)*g’(N) = 1/N*1/N+ln(N)*(-1/N^2)
g’(N) / g(N) = 1/N^2*(1-ln(N))
g’(N) = g(N) / N^2*(1-ln(N))
f’(N) = g’(N) = (g(N) / N^2)*(1-ln(N))
= (N^(1/N))/(N^2)*(1-ln(N))

f’(N) пересекает ноль только в одной точке, где 1-ln(N) = 0, то есть N = e = ~ 2.718.
CAGR в этой точке = e^(1/e)-1 =~ 44.47%.

Этот ответ, конечно, совпадает с результатом выше.

👉 Полезные выводы

1. В инвестициях нельзя просто сосредоточиться на том, что они вырастут в N раз. Решающее значение имеет время, в которое достигается этот результат. Даже рост в 100 раз не так уж и привлекателен, если на это необходимо потратить 100 лет (CAGR здесь будет всего около 4.71% годовых).

2. С другой стороны, мы также не должны думать только о максимизации CAGR, исключая все остальное. Ключевой вопрос, который нужно себе задавать – как долго мы можем поддерживать определенный CAGR? Если мы покупаем акцию и она растет на 2% за 1 день, то мы получаем колоссальный CAGR = 137641% годовых. Но является ли он устойчивым? Скорее всего, нет.

На коротких промежутках времени CAGR может вводить в заблуждение (и этим пользуются управляющие и «продажники»!). Для большинства из нас «достойный» CAGR, который может поддерживаться десятилетиями, принесет больше пользы, чем «большой» CAGR, который быстро сходит на нет. Поэтому мы должны советующим образом оценивать наши инвестиционные возможности.

Близкой проблемой является риск реинвестирования. Например, Бизнес «A» может инвестировать капитал с отдачей в 50%,но только в течение ограниченного промежутка времени, пока рынок не насытиться, появятся конкуренты и пр. Этот бизнес имеет риск реинвестирования. Напротив, Бизнес «B» может получать отдачу в 20% и делать это десятилетиями и может не иметь такого риска.

Еще один фактор, который нужно учитывать – объем капитала. Возможность, которая позволяет вам инвестировать 1 тыс. руб. с отдачей в 200%, вряд ли будет доступна для 1 млн. Поэтому доходности наиболее успешных крупных инвесторов и фондов, типа Berkshire, снижаются со временем.

Итак, при выборе инвестиций, учитывайте:

🔹 CAGR/IRR, который вы можете получить.
🔹 Как долго такой CAGR/IRR может быть устойчивым.
🔹 Риск реинвестирования
🔹 Объем капитала
🔹 Неопределенности относительно CAGR/IRR

Спасибо, что дочитали до конца! Хорошего воскресного вечера!