Друзья,

Правильный ответ на задачку в предыдущем посте: E: >=$5 млн, ML: <$5 млн

🔹Ожидаемый доход спортсмена за всю жизнь E = $5.56 млн.
🔹Наиболее вероятный доход ML = $1 млн.

Этот ответ - самый популярный. Отлично!

⚠️ Мы не указывали в задаче длительность карьеры спортсмена, потому что хотели показать элегантное решение задачи, но некоторых это могло смутить. Если, вы двигались в логике решения (см. ниже), взяли относительно небольшую максимальную длительность карьеры и правильным для вас оказался первый ответ (E: <$5 млн, ML: <$5 млн), то вы тоже правы. Приносим извинения. В будущем будем аккуратнее.

В любом случае это никак не влияет на важные и полезные выводы в конце поста!

Решение

Доходы спортсмена за всю жизнь являются случайной величиной. Они могут быть $1 млн., $2 млн., $3 млн., $4 млн. и т.д. Каждый из этих исходов ВОЗМОЖЕН, но не в равной степени.

Вероятность дохода в $1 млн. P($1М) = Вероятности травмы в первый год P(травма в год 1) = 0.18.

Аналогично:
P($2М) = P(нет травм в год 1, но есть в год 2) = 0.82*0.18
P($3М) = P(нет травм в год 1, нет в год 2, но есть в год 3) = (0.82^2)*0.18

Следуя этой логике:
P(доход за всю жизнь в $k млн.) = (0.82^(k-1))*0.18 для всех k >=1.

Таким образом мы можем посчитать вероятности появления различных исходов для совокупного дохода спортсмена:

P($1М) = 0.18, то есть 18%
P($2М) = 0.82*0.18 = 14.76%
P($3М) = (0.82^2)*0.18 = 12.10%
P($4М) = (0.82^3)*0.18 = 9.92%
P($5М) = (0.82^4)*0.18 = 8.14%
… и так далее.

👉 Отсюда становится очевидным, что НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНЫЙ (ML) доход спортсмена за всю жизнь равен $1 млн. с вероятностью 18% (среди всех возможных доходов за всю жизнь).

По мере того, как мы движемся выше и выше ($2, $3 млн…) вероятности снижаются. И ОЖИДАЕМЫЙ (E) доход спортсмена за всю жизнь будет равен сумме всех исходов, взвешенных на их вероятности:

E = $1М*P($1М) + $2М*P($2М) +$3М*P($3М) + …

На этом месте вы можете посчитать ответ для конечного числа лет карьеры спортсмена (и при некоторых значениях прийти к решению E<=$5млн, если выбрали это число относительно небольшим – еще раз извините).

Но, учитывая, что в задаче о длительности карьеры ничего не говорится, примем число исходов, равным бесконечности, чтобы прийти к более элегантному решению и посмотреть к какой цифре оно сходится. Тогда далее упрощаем:

E = sum((k*$1М)*(0.82^(k-1)*0.18)) = ($1М*0.18) * sum(k*0.82^(k-1)), где k = 1:бесконечность

Если сумму (sum) принять за S, то S = 1*0.82^0 + 2*0.82^1 + 3*0.82^2+…
То есть: 0.82*S = 1*0.82^1 + 2*0.82^2 +…
Упрощаем: S-0.82*S = 0.18*S = 0.82^0 + 0.82^1 + 0.82^2 + 0.82^3 +…

Последняя сумма - это сумма геометрического ряда, который в нашем случае сходится к значению (при q<1, lim(a/(1-q))):

0.18*S = 0.82^0/(1-0.82) = 1/0.18 = 5.56.

👉 Так как 0.18*S = 5.56, а E = $1М* 0.18*S, то:
E = $1М*5.56 = $5.56 млн.

👉👉 Полезные выводы

В ситуациях с вероятностью ожидаемые и наиболее вероятные исходы могут сильно различаться, как в этой задачке E = $5.56 млн., ML = $1 млн. Если это так, то разумные решения должны приниматься не только на основе ожидаемых значений, но с учетом всего распределения вероятностей!

В долгосрочных инвестициях распределение годовых и, тем более, 3-х или 5-летних и так далее доходностей сильно смещено в положительную сторону (асимметрично), что часто «завышает» классическую ожидаемую среднюю доходность, в то время как нечастые, но относительно большие падения рынка остаются недооцененными. Бывает и наоборот.

Наиболее вероятные значения здесь обычно не имеют смысла (конкретные доходности редко повторяются), поэтому в таких случаях лучше использовать минимальное из значений ожидаемой и медианной доходности (такой выбор гораздо надежнее для построения сценариев роста капитала).

=======
Вот предыдущие задачки (ответы прямо под ними):

▪️ Про P/E, рост прибыли и buyback: https://t.me/dohod/11389
▪️ Про период окупаемости активов в условиях инфляции: https://t.me/dohod/11397
▪️ Про ошибку интуиции при оценке вероятности: https://t.me/dohod/11404
▪️ Про ребалансировку: https://t.me/dohod/11415