Друзья,

Правильный ответ на задачку в предыдущем посте: ~ 57,91%.

К сожалению, этот вариант получил наименьшее количество голосов. Только ~5% респондентов проголосовали за него. Остальные ~95% ошиблись.

Даже если вы не дружите с математикой, не пропустите полезные выводы в конце поста!

👉 Решение:

🔸 Эту загадку гораздо проще решить, поставив вопрос наоборот. То есть вместо того, чтобы спрашивать, какова вероятность того, что хотя бы одна семья получит несколько платежей, мы спрашиваем об обратном: какова вероятность того, что ни одна семья не получит несколько платежей (то есть 15 000 платежей уйдут только разным семьям)?

Число исходов, в которых это может произойти можно представить как:

(Число сочетаний выбора 15тыс семей из 130млн)*15000!

15000! – это факториал 15 000 = 1*2*3*4*5 … *15000, который означает число вариантов распределения 15 тыс. платежей среди этих 15 тыс. семей (в комбинаторике это называют Перемещениями).

🔸 Также, общее число вариантов, с помощью которых Илон сможет отправить платежи = (130млн)^15тыс

, то есть платеж 1 может быть отправлен любой из 130 млн. семей, платеж 2 может быть отправлен любой из 130 млн. семей и т.д.

👆 Таким образом, вероятность (P) возникновения нашей ситуации:

P = ((Число сочетаний выбора 15тыс семей из 130млн)*15000!) / (130млн)^15тыс

🔸 В комбинаторике Сочетанием из n по k называется набор из k элементов, выбранных из n-элементного множества, в котором не учитывается порядок элементов. Число сочетаний без повторений определяется по формуле:

(Число сочетаний выбора k=15тыс семей из n=130млн) = n!/(k!*(n-k)!) = 130млн/(15тыс!(130млн-15тыс)!)

Поэтому далее: P = (130млн!/(15тыс!(130млн-15тыс)!)) * (15тыс!/(130млн)^15тыс)

После сокращений: = 130млн! / ((130млн-15тыс)!*130млн^15тыс)

🔸 Раскладывая факториалы и степень получаем: = (130млн/130млн)*((130млн-1)/130млн)*((130млн-2)/130млн)* … *((130млн-15млн+1)/130млн)

Первое отношение сокращается и мы получаем следующее произведение:

👆 P = prod(1-i/130млн), где i = 1 до 14999, = 42.09%

Вы можете легко рассчитать это произведение, используя Python, R или даже Excel.

🔸 В конце концов, это означает, что вероятность события, при котором, по крайней мере одна семья получит несколько платежей будет:

= 1-0.4209 = 57.91%
и поэтому верен ответ >50%, <=75%.

👉 Полезные выводы

🔹 1. Вероятность того, что произойдет КОНКРЕТНОЕ совпадение чего-либо (например, того, что конкретная семья получит платеж) может быть очень мала. Но вероятность того, что произойдет НЕКОТОРОЕ совпадение может быть высокой. Используя другой пример: вероятность, что именно вы выиграете в лотерею может быть 1 к миллиону, но кто-то выиграет в лотерею и вероятность этого =100%. В совокупности несколько редких событий почти неизбежно происходят.

🔹 2. Ответы на эту задачку хорошо показывают, как вероятность бросает вызов вашей интуиции. Если бы вам дали 1 цент и вы бы могли удваивать вложения от него каждый день в течение месяца, то к концу этого периода ваше состояние оценивалось бы в … почти $11 млн. Наш мозг очень плохо воспринимает экспоненциальную функцию и вероятности.

Неспособность точно рассчитать шансы и оценить риск может привести к всевозможным неприятностям, когда дело доходит до финансового планирования. Например, мы часто сталкивается с оценками людей, которые интуитивно прикидывают сколько денег им понадобится через много лет для определения суммы сбережений, и обычно, они очень далеки от правильной суммы. Очень многие сосредотачиваются на страховании жизни, игнорируя суммы выплат по инвалидности, но у вас гораздо больше шансов стать инвалидом в течение трудовых лет, чем умереть.

👆 Что вы можете сделать, чтобы компенсировать этот недостаток человеческого мозга? Не полагайтесь на интуицию.

Когда дело доходит до оценки вероятности будущего события или прогнозирования того, сколько денег вам понадобится в будущем, велика вероятность, что вы не сможете сделать это правильно, пытаясь просто угадать. Всегда копайтесь в реальных цифрах, тренируйтесь на таких задачках или обратитесь к профессионалу.

===
А еще погуглите "Парадокс дня рождения"