Давайте разберем классическую задачку, которая встречается очень часть: "Кубик бросают три раза. После каждого раза можно остановиться. Как следует поступить, что бы последнее значение было наибольшим?"
✍️ Введем определения:
• Честный кубик - кубик у которого вероятность выпадения каждой грани равновероятно и равна 1/6
• Закон больших чисел - если проделывать один и тот же случайный эксперимент очень-очень много раз (например, бесконечно часто подбрасывать монетку), то средний результат этих попыток неизбежно приближается к настоящему «правильному» среднему — к математическому ожиданию.
• Математическое ожидание - Это то самое «настоящее среднее»: число, к которому в идеале стремилось бы ваше среднее, если бы вы смогли делать опыт бесконечно долго. Считается оно, как сумма возможных значений на их вероятность появления. Для честного кубика это (1/6*1 + 1/6*2 + 1/6*3 + 1/6*4 + 1/6*5 + 1/6*6) = 3.5 то есть в среднем мы ожидаем, что при большом количестве бросков кубика среднее всех этих бросков будет равняться 3.5 .Например, подбрасываем кубик 1000 раз (первое значение 6, второе значение 1, третье значение 3 и так 1000 раз). Суммируем все эти значения и делим на количество бросков и получаем примерно 3.5.
🔔 Теперь к интуитивному решению:
Давайте введем следующую подмену, представьте, что значения на кубике равным деньгам, например, вот так:
1 -> 100 рублей
2 -> 200 рублей
3 -> 300 рублей
4 -> 400 рублей
5 -> 500 рублей
6 -> 600 рублей
1️⃣ Шаг 1: Понимаем 3-й бросок:
Отлично, теперь я предлагаю пойти от последнего броска (3-ий бросок). Давайте поймем почему третий бросок имеет мат.ожидание 3.5 или 350 рублей. Представляем себе, что мы играем в игру 1000 раз и доходим до 3-его броска также 1000 раз, тогда мы понимаем, что в среднем из 1000 возможных значений в среднем мы будем получать 3.5 (или 350 рублей) - посмотрите еще раз закон больших чисел. Хорошо, держим это в голове, что последний бросок в среднем нам дает 3.5 (350 рублей).
2️⃣ Шаг 2: Анализируем 2-й бросок:
Теперь возвращаемся на второй бросок, предположим мы получили 2 (200 рублей) мы можем взять эти 200 рублей или пойти дальше (а мы знаем, что в среднем дальше мы можем получить 350 рублей), ну логично пойти дальше. То есть если мы на втором броске получаем меньше 350 рублей, а это 100, 200, 300 имеет смысл сделать 3-ий бросок.
3️⃣ Шаг 3: Принимаем решение на 1-м броске:
Теперь самое интересно, а как себя вести на первом броске ? Здесь нужно учесть математическое ожидание 3-его броска. Давайте поясню. Представляете это себе так - мы знаем, что на втором броске мы будем идти на третий бросок, если нам выпадет 100, 200 или 300 рублей, так как третий бросок в среднем нам дает 350 рублей. Тогда на первом броске мы учтем вот этот запас и теперь мат.ожидание второго броска будет считаться вот так (350 + 350 + 350 + 400 + 500 + 600) и получим 425 рублей, чувствуете, что я сделал ?
Я заменил 100, 200 и 300 рублей на 350, то есть на мат.ожидание третьего броска, так как подразумеваю, что у меня сейчас первый бросок и мне нужно учесть третий бросок, так как в совокупности (1-ый и 2-ой бросок дают больше шансов) они могут дать больше из-за количества попыток. В таком случае на второй бросок стоит идти, если только при первом броске у меня выпадет меньше 425 рублей, то есть 500 рублей или 600 рублей, а это значения 5 и 6 на кубике соответственно.
Такая же логика, когда количество бросков больше, нужно идти от последнего броска и каждый раз пересчитывать математическое ожидание.
Итог:
😎 Если этот пост был вам полезен, то кидайте 🔥 или ❤️!
❓Как вам такое объяснение. Стоит делать в подобном стиле такие разборы?