В шахматном турнире на звание гроссмейстера участвовало 12 человек, каждый сыграл с каждым по одной партии. За победу давалось 1 очко, за ничью — 0.5 очка, за поражение — 0 очков.
По итогам турнира звание гроссмейстера присваивали, если участник набрал более 70% от числа очков, получаемых в случае выигрыша всех партий.
Могли ли получить звание гроссмейстера:
● 7 участников?
● 8 участников?
Метод от противного, покажем, что получить звание мастера могли не более 7 участников.
Пусть их было 8
💩 Тогда каждый набрал не менее 0.7 * 11 = 7.7 очков, т.е. не менее 8 очков. Получаем, что все они в сумме набрали не менее 8 * 8 = 64 очков.
💩 В то же время в партиях с участниками, не получившими звание мастера, каждый из них набрал не более 4 очков. Это дает не более 4 * 8 = 32 очков.
💩 Значит, участники, ставшие мастерами, должны были набрать в партиях между собой не менее 32 очков. Но таких партий будет всего (8 * 8 - 8) / 2 = 28. Получаем противоречие.
Пусть их было 7
💩 Пусть первые 7 всегда выигрывали у последних 5, а все остальные партии завершились вничью.
💩 Тогда первые 7 участников набрали по 1 * 5 + 0.5 * 6 = 8 очков, а последние 5 по 0 * 7 + 0.5 * 4 = 2 очка.