打听 употребляется, когда речь идет о какой-либо информации, которая не имеет прямого отношения к человеку и чаще всего не касается его мнения или взглядов.
他喜欢打听别人的私事。[Tā xǐhuan dǎtīng biérén de sīshì.] — Он любит расспрашивать о личных делах других.
问 используется, когда интересующаяся информация может иметь прямое отношение к тому, кого спрашивают.
我问她今天过得好不好。[Wǒ wèn tā jīntiān guò de hǎo bu hǎo.] — Я спросил ее, как прошел ее день.