Веселые и грустные числа

Вычитали в книге «Математическая пицца» такую задачку: числа приходят на осмотр к врачу, а врач говорит, какое у числа настроение — веселое оно или грустное.
Определяется так: каждая цифра числа умножается на себя (возводится в квадрат), эти квадраты складываются, с полученным числом операция повторяется, пока не зациклится. Если получится 1 — число веселое, если зациклится на чем-то еще — грустное.

Например:
7 → 49 → 16 + 81 = 97 → 130 → 10 → 1 это веселое число. Проверьте сами еще какое-нибудь.

Что тут вижу я:
1) интересно обсудить, почему вообще процесс зациклится;
2) интересно брать все числа подряд и исследовать: много ли веселых, нет ли у них какого-то общего свойства;
3) а есть кто-то, кроме единицы, кто в себя сразу перейдет;
4) в процессе вылезают всякие мелочи: из веселого числа получаются только веселые, если цифры переставить или 0 в середину запихнуть, настроение не изменится.

Что получилось:
Ильке было интересней полистать книжку дальше, чем зависнуть на одной задаче. Тем не менее мы поисследовали числа до 16 (после 8 процесс идет совсем быстро, большинство чисел уже где-то встречались). Грустных чисел очень много, а жаль, видимо, названия не самые удачные.