Что почитать на «нерабочей неделе»? Лекции по матану!

Лекция 14. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Понятие непрерывности функции в точке опирается на понятие предела и является, как говорят, локальным — оно зависит только от того, как функция ведёт себя в произвольно малой окрестности точки. Нас же зачастую интересуют глобальные свойства функций — например, является ли функция ограниченной, достигает ли своего максимума и минимума, имеет ли корни? Оказывается, в некоторых случаях можно перейти от локальных свойств к глобальным. Этот переход кажется простым, но часто эта простота обманчива. Например, мы знаем, что если функция непрерывна в какой-то точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки (т.к. имеет предел). Пусть теперь функция непрерывна во всех точках некоторого множества. Значит ли это, что она будет ограничена на этом множестве? Оказывается, нет: например, функция f(x)=1/x является непрерывной в любой точке интервала (0, 1), но не является ограниченной на этом интервале.

В этой лекции мы обсудим несколько глобальных свойств функций, непрерывных на отрезке. Они нам понадобятся в дальнейшем.

Лекция: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:14:cont-segment/ (и небольшой кусочек отсюда: https://calculus.mathbook.info/chapter/label/chap:17:applications-deriv/#label_subsection_number_17_2_1 )

Задачи: http://math-info.hse.ru/a/2021-22/nes-calculus-1/seminar14.pdf

Видео: https://youtu.be/75uxoVZbktk