Из трех авторских решений этой задачи мне больше всего нравится вот это.

Обозначения: треугольник ABC, Б — это A-Болтай, S, T отражения относительно сторон, K пересечение BC и ST.

Пусть Γ — парабола, касающаяся прямых AB, AC в точках B, C соответственно. Тогда как известно Б ее фокус, а ST — ее директриса (точка Микеля четырехугольника это фокус вписанной в него параболы; отражение фокуса относительно касательной попадает на директрису). Значит, AБ — поляра K относительно Γ. По гармоническому свойству поляры получаем, что если AБ пересекает BC в точке S, то [B, C; S, K] = -1. Так как S — основание симедианы из A на BC, то отсюда и следует требуемое.