Теории пост. Прощальный пост.

В планиметрии есть много методов решить задачу: всякие теоремы, трюки, стандартные картинки, какие-то продвинутые техники. А что можно сказать насчет стереометрии? Там запас этого всего добра урезается в десятки раз. Может, всякие аналоги лемм о воробьях, о велосипедистах и т.д. есть, но они очень малоизвестны и далеко не очень полезны. В стереоме чаще требуются рассуждения про доп. построения, анализ картинки, рассматривание каких-то пересечений плоскостей/проекций, сведений к плоской задаче. Есть конечно аналог радикальных осей, например, но это тоже не очень частый метод.

Тем не менее, все-таки один продвинутый трюк есть.

Забавно, что обычные проективные коники и теоремы на них вполне обобщаются в пространство. В пространстве верны аналоги леммы Соллертинского, теоремы Брианшона и понятие поляры относительно квадрики (причем даже определено не только понятие поляры точки, но и поляры прямой).

Определение. Квадрика – поверхность в пространстве, задающаяся уравнением F(x, y, z) = 0, где deg(F) = 2.

Определение. Полярой точки X относительно квадрики K называется плоскость, проходящая через основания всех касательных из X к K.

То, что основания касательных из X к K лежат в одной плоскости неочевидно, но это правда. Ещё заметим, что поляра X относительно K высекает на K конику.

Однако сейчас нас будет интересовать случай, когда квадрика – сфера, а высекаемая коника – окружность.

Сперва поговорим о стереографической проекции.

Определение. Пусть Г – сфера, O – её центр, а p – некоторая плоскость. Прямая, проходящая через точку O и перпендикулярная p, вторично пересекает Г в точке N (N находится дальше от p, чем вторая точка пересечения). Пусть Х – произвольная точка сферы, а NX пересекает p в точке Y. Стереографической проекцией Г на p будем называть отображение Г -> p при котором X -> Y.

Это отображение – биекция между Г (без точки N) и p. Также заметим, что на самом деле, это просто инверсия с центром N при которой Г переходит в p (инверсия, суженная на Г). Она переводит окружность, не проходящую через N, в окружность, а окружность, проходящую через N, в прямую. Уже сам этот факт является довольно полезным и помогает решать некоторые сложные задачи. Например, это сильно помогает в P5 устной олимпиады по геометрии 2015 года 10-11 класс. (рис. 1)

Но мы пойдем дальше.

Определение. Полярной окружностью точки X относительно сферы Г называется окружность, проходящая через основания касательных из X к Г. Будем обозначать эту окружность p(X).

Получаем биекцию между точками R³ и окружностями на сфере.

Теорема.
1. Прямая AB касается сферы Г <=> p(A), p(B) касаются.
2. Плоскость (ABC) касается Г <=> p(A), p(B), p(C) имеют общую точку.
(рис. 2 и 3)

Мысль. Отображение X -> p(X) позволяет сопоставлять стереометрической задаче конфигурацию окружностей на сфере. Совершая затем стереографическую проекцию, мы получаем плоскую задачу, решив которую, мы решим и исходную трехмерную задачу. Также можно совершать эти действия в обратном порядке, проектируя плоскую задачу на сферу и затем возникающие окружности отображая в точки.

И вот это уже мощный интрумент для решения задач.

Пример. Около сферы Г описана четырёхзвенная ломанная ABCD. (рис. 4)
(!) Четыре точки касания её сторон со сферой лежат в одной плоскости
Доказательство. Мы знаем, что p(A), p(B), p(C), p(D) попарно касаются. Скинем это все стер. проекцией на плоскость. Получим известную простую задачу: четыре окружности на плоскости попарно касаются, тогда точки касания лежат на одной окружности. Проектируя обратно, получаем, что точки касания не просто лежали в одной плоскости - они еще и на одной окружности.

У этой задачи есть другие решения (например, пространственный менелай).

Есть еще более сложные примеры. И вот, собственно, задача Вам.

Скрытая 10.9 Шарыгинки 2024

Точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, которая касается сферы Г. Точка A' такова, что тетраэдр BCDA' описан около Г. Аналогично определим B', C', D'. (рис. не требуется)
(!) A', B', C', D' лежат в одной плоскости

(Ухожу в отпуск на x лет)