в прошлом году, совместными усилиями 44 учёных из 22 университов было подброшено 350757 монет и теперь мы можем уверенно утверждать что в 50.8% бросков монета падает той же стороной, с которой её подкинули

чтобы это выяснить, надо задать 4 вопроса:
1. чаще ли падает монета той же стороной, с которой её подкинули?
2. одинаковый ли будет результат, если подкидывать вверх орлом или решкой?
3. одинаковый ли результат если монеты кидают разные люди?
4. одинаковый ли результат если кидают разные монеты?

в каждом случае два варианта, то есть у нас 16 статистических моделей. мы не знаем какая комбинация ответов верная, так что тестировать нужно все

бросаем монетки и для каждой модели считаем её баейсовский фактор, то есть то, насколько данные в ней вероятны. по рассчётам в статье, победила модель, где влияет что монета падает той же стороной что стартовала (наш фактор), и не влияет орлом это или решкой, разные ли это люди и монеты. можно было бы тут и остановиться, но этого недостаточно чтобы говорить уверенно

а вдруг победил не просто первый пункт, а конкретная комбинация из четырёх? (да/нет/нет/нет). поэтому по-честному надо ещё посчитать фактор включения: (сумму вероятностей всех моделей, где наш фактор есть) / (сумму вероятностей всех моделей, где его нет). и вот там уже в результате оказалось, что статистически наш фактор действительно влияет, все модели с ним классные, а без него стрёмные. теперь это становится уже более серьёзным доказательством

но что если эти данные меняются со временем? вчера скидка на Pony Island была, а сегодня уже нет. бросам монетки два года, перепроверяем всё снова, измеряем насколько данные дрейфуют и выясняем, что основной тренд действительно есть, и теперь можно увереннее утверждать, что даже завтра монета будет вести себя так же. теперь можно и публиковать!

технически, такие рассчёты считаются в Stan (веротностный язык программирования), который используют Гамильтонов алгоритм Монте-Карло (цепи Маркова с весами из физики), с bridge sampling (это как они считали вероятность данных в каждой модели) и байесовым усреднением между моделями. ну, то есть, подкидывать монетку была самая лёгкая часть

https://arxiv.org/pdf/2310.04153