Интерпретация гамма-пуассоновской смеси с помощью отрицательного биномиального распределения

Тут в комментах под постом про Распределения в реальной жизни задали бомбический вопрос, до которого я сам за все это время не додумался. Смысл примерно такой:

☝️ Мы знаем, что пуассоновское распределение это когда мы считаем количество активностей за фиксированный промежуток времени.

✌️ Еще мы знаем, что отрицательное биномиальное распределение это когда мы считаем, сколько случится неудач к моменту, когда случится r-й успех.

✍️ Пусть мы теперь считаем количество активностей у кучи пользователей за некоторый фиксированный промежуток времени, при этом у каждого пользователя своя интенсивность этих активностей.

🤫 Если предположить, что интенсивности пользователей выглядят как выборка из гамма-распределения, то куча полученных чисел будет выборкой из некоторого конкретного и общего для всех отрицательного биномиального распределения.

🤔 Получается, что с одной стороны мы считаем активности, а с другой стороны мы считаем число неудач к моменту какого-то по счету успеха.

Вопрос: есть ли какая-то связь между активностями и неудачами?

Оказывается, что есть: активности это и есть неудачи. Смотрим 🤩к а р т и н о ч к и🤩 и разбираемся, почему так!