Понимаем процедуру последовательного тестирование mSPRT, часть-3

SPRT
Представим, что мы давненько собираем данные про какую-то метрику, а тут решили запустить тест.
Так как данные собираются давно, то у нас есть консистентные исторические данные, данные до эксперимента. Скажем, они распределены нормально со средней 100, отклонение, условно, 10.

Допустим, что тестируем гипотезу, которая имеет под собой крепкую базу исследований бла-бла-бла, в общем, серьезный шанс дать прирост средней на +30 рублей (отклонение же не затронет).

То есть:
H0 = θ_0 = 100
HA = θ_A = 130

Зная про Likelihood Ratio, вы можете вполне прийти к идее: а давайте при каждом поступлении данных смотреть Likelihood Ratio, это будет нашей очередной статистикой, обозначим как Λ:
Λ = L(data|θ_A)/L(data|θ_B) и смотреть, попадает ли она в некоторый диапазон, например, 3.2 - 10 (Bayesian Factor с его границами интерпретации по Kass и Raftery)?
- Если да, стопаем, отклоняем что нужно и готово)
- Если нет, продолжаем до момента окончания теста по заранее рассчитанному размеру выборок.

Собственно, это тест Wald, который был разработан в 1945 году (!)

Абстракцию низведем до конкретрики, все как мы любим. Data это у нас данные из группы B
День №1:
B = [120]
- Интуивно, как будто правдопободнее, что это из HA (θ_A = 130), чем из H0 (θ_0=100) поэтому мы могли бы получить такое ratio:
Λ = L(data|θ_A)/L(data|θ_B) = 0.13/0.06 = 2.16
0.13 и 0.06 - тут и далее просто из головы беру значения.

День №2:
B = [120, 125]
- Теперь мы должны учесть L и 1-го И 2-го дня. Когда нас просят подсчитать ту же вероятность совместных событий: событие №1 И событие №2, мы умножаем вероятности. С Likelihood тож самое.

Чуть перепишем теперь формулу:
П[ L(data|θ_A)/L(data|θ_B) ], где П - это Product или Произведение.
Раскрыли бы мы это так:
Λ = П[ L(data|θ_A)/L(data|θ_B) ] =
= L(data_день-1|θ_A)*L(data_день-2|θ_A) / L(data_день-1|θ_0)*L(data_день-2|θ_0)

К нашим данным: 125 снова правдопободнее, что это из HA, чем из H0, и даже БОЛЕЕ правдопободнее, чем было 120. Скажем, равно это 0.15. Ну а для H0 менее правдопободнее, 0.02.

Λ =П [ L(data|θ_A)/L(data|θ_B) ] = 0.13*0.15/0.06*0.02= 16.12 - да, вот тут уже даже больше 10 -> "сильное доказательство" (в пользу гипотезы в числителе), отклоняем H0 бла-бла.

Но для закрепления:
День №3:
B = [120, 125, 160]

- 160 хоть и правдоподобнее для HA на фоне H0, но сама вероятность этого в рамках HA все же мала (на правом конце HA), будет 0.01. Для H0 = 0.0001.
Λ = П [ L(data|θ_A)/L(data|θ_B) ] = 0.13*0.15*0.01/0.06*0.02*0.0001= 1625

——
Проблемы такого подхода:
1) Нужны исторические данные для H0
2) Но самая засада - это надо знать точное значение HA

mSPRT как раз и решает п.2 (но тоже не без некоторых предварительных требований).