Открыл консоль, посмотрел какие куки создаются после авторизации через форму вордпресса. Потом посмотрел что я создаю после авторизации через мою форму. Оказалось, что после перехода на любую другую страницу куки авторизации удалялись, поэтому и происходило разлогинивание.
Написал в поисковик "Как в вордпресс установить куки после авторизации" и первая же ссылка от wp-kama дала нужный ответ. Почитал что делает каждая функция, добавил себе на сайт. Проверил, что куки не удаляются после авторизации и перехода в админку.
Меня не выбрасывает после авторизации 🔥
nocache_headers();
wp_clear_auth_cookie();
wp_set_auth_cookie($user_ID, $remember);