Многомерный массив - элемент массива сам является массивом.

Тут уже знания Wordpress не помогут и можно воспользоваться вот таким кодом.

$period = [];
$test = [];
// Убрать дубликаты значений из массива $campArray
foreach ($campArray as $value) {
  if(!in_array($value['name'], $test)) {
    $test[] = $value['name'];
    $period[] = $value;
  }
}

Прохожу циклом по массиву $campArray и проверяю (in_array) есть ли в массиве $test фильтруемое значение. Если нет, то добавляю $value['name'] в $test, а $value в новый массив. Т.о. в массиве $period не будет дублированных значений.