Регрессия и распределение шума

В задачах регрессии обычно предполагают, что есть какая-то неизвестная нам «настоящая» зависимость таргета от входа, а наблюдаемые таргеты получаются из «настоящих» добавлением нормального шума с нулевым матожиданием и постоянной дисперсией. Это предположение ведет к квадратичной функции потерь (L2).

Но часто это предположение ломается: дисперсия шума может быть непостоянной, а само распределение — не нормальным. Например, так распределены деньги, которые пользователи приносят сервису за какой-то период.

Если у вас есть задача регрессии, вы можете построить гистограмму ошибок и проверить, похожа ли она на нормальное распределение.

Интуитивно хочется к таким криво распределенным таргетам сначала применить какое-то преобразование (скажем, логарифм), после которого они станут относительно нормальными, решить задачу регрессии в преобразованной шкале, а потом уже предсказания перевести в исходную шкалу.

Когда-то в Яндексе Миша Парахин всем советовал в таких ситуациях чуть более принципиальный подход: в качестве этого преобразования использовать CDF (функцию распределения) исходного распределения таргетов (оцененную по датасету) и затем обратную CDF нормального распределения. Тогда преобразованные таргеты как раз будут нормально распределены (правда, тут некоторая подмена понятия — вообще говоря, нам нужно нормальное распределение шума/ошибок, а не самих таргетов).

Но у этих подходов есть проблема — они не mean-proper. Mean-proper функции ошибок — это у которых минимум достигается, когда предсказание равно матожиданию таргета. Например, L2 (MSE) или Binary Cross-Entropy (в случае бинарных таргетов) — mean-proper. А вот L1 (MAE), MAPE, MSE логарифмов — нет. Попросту говоря, при использовании таких лоссов предсказания будут смещенными. Я когда-то уже писал про это для логарифмов.

Это свойство (mean-proper) часто довольно важно. Например, хотелось бы, чтобы сумма наших предсказаний доходов по какому-то сегменту пользователей примерно попадала в настоящие суммарные доходы.

Поэтому я к этим трюкам с преобразованием таргета всегда относился скептически — не хочется терять калиброванность из-за того, что шум как-то не так распределен. И вообще, казалось бы, как бы ни был распределен шум, практика нас обычно учит: что вы хотите улучшить на test set — то и оптимизируйте на train set. Хотите MSE — используйте MSE. Просто разные лоссы ведут к разным компромиссам, когда не получается точно описать данные. Так ведь?

Оказалось — нет. За последние несколько дней я провёл небольшой эксперимент на искусственных данных. Пусть у нас одномерный случай, x распределен равномерно на [0, 1], «настоящая» зависимость выглядит как z = exp(a*x + b), а наблюдаемые таргеты сэмплируются не из нормального, а из экспоненциального распределения с матожиданием z(x). Обучаем модель y_pred = exp(a*x + b), т.е. просто подбираем параметры a и b по датасету, используя либо обычный L2 loss, либо специальный экспоненциальный лосс log(y_pred) + y / y_pred — это negative log-likelihood экспоненциального распределения (он тоже mean-proper!).

И оказалось, что экспоненциальный лосс даёт лучшее качество, чем L2, даже по MSE! Особенно, когда обучающих данных немного (когда много — L2 догоняет по качеству).

Конечно, в реальных случаях у нас данных сильно больше, чем тут. Но и зависимости у нас сложнее, и фичей сильно больше, и особенно для спарс-фичей — разреженность данных может быть ещё сильнее.

Эксперимент показал, что лосс, адаптированный к настоящему распределению шума, ведёт именно к лучшей генерализации — а не просто к другому компромиссу.

Иллюстрация (cherry-pick) — ниже. Типичная чувствительность L2 к выбросам.

P.S. Эксперимент выглядит очень простым. Но пока я его делал, я напоролся на несколько удивительных подводных камней. Оказалось, что использование
1) линейной зависимости z = a*x + b (без exp)
2) оптимизаторов Adam и (S)GD
3) mean(x) ± 2 * std(x) / sqrt(N) в качестве доверительного интервала среднего
— всё это делает эксперимент очень нестабильным. Угадайте, почему 😉