Забавная этимология.
Я снова занялась ткачеством, и выяснила интересную вещь. Ткачество, которым я сейчас увлеклась, называется браное ткачество. От глагола «брать», это потому что ткачиха вручную отбирает нити основы для узора.

Так вот. Скатерть самобранка называется так, потому что она «сама себя берет», то есть это скатерть, которая соткала себя сама.

Ну на всякий случай скажу, что это лишь одна из версий. Встречается версия, что это про еду: «бери не хочу», или что это просто про механизм изготовления скатерти.