حالا ازین مثال سمی رد بشیم و به همون مثال های عادی خودمون برگردیم وقتی که تابع چگالی احتمال ما پیوسته هست و این دردسرها رو نداره. قبلش اما باید بگیم که اون مثال یه درسی به ما داد که انگاری یه مفهومی هست که ما اون رو بدیهی فرضش کرده بودیم و خیلی راحت انتگرال رو میگرفتیم تا این که به تپه سخت برخورد کردیم و اون مفهوم اندازه بوده.

نمیخوام خیلی وارد جزئیاتش بشم چون هر کدوم از این ها چندین واحد درسی لازم داره تا در موردش بشه حرف زد ولی همین رو بگم که این آقای لبگ اومد و یه اندازه ای ارائه داد که با درک روزمره ما جور در میاد و به نوعی تعمیم همون چیزهایی بود که تا حالا صحبت میکردیم.

به طوری که اندازه برای مجموعه های متناهی برابر با سایز اون مجموعه باشه برای اعداد حقیقی، اندازه یک بازه برابر با طول اون بازه باشه و برای R^2 برابر با سطح باشه و الی اخر. یعنی اون بالا وقتی داشتیم انتگرال میگرفتیم و اخر انتگرال dx میذاشتیم این در واقع همون اندازه لبگ بوده برای یه جز دیفرانسیلی.

حالا این که خود احتمال یه اندازه است و میشه اون رو به صورت عکس بالا نوشت و اینکه ما همین انتگرال رو در ابتدا به یه صورت دیگه و اون هم بر حسب اندازه لبگ (dx) نوشته بودیم ما رو به یک نقطه خیلی جالبی میرسونه که بله ما در واقع متغییر تصادفی هایی داریم که میتونیم اندازه احتمال رو برای اون متغییر تصادفی به صورت ضرب تابع چگالی احتمال f(x) در اندازه لبگ dx بنویسم.‌ در واقع هر متغییر تصادفی که تابع چگالی احتمال دارد منظور ما این هست که چگالی نسبت به اندازه لبگ داره ولی این تیکه رو معمولا برای اندازه لبگ ذکر نمیکنیم.

این همه پرگویی کردم از ابتدای کار برای رسیدن به همین نکته که وقتی به تابع چگالی احتمال فک میکنید به اندازه یه المانی هم اون بغلش فکر کنیم که در مورد اعداد حقیقی dx هست که باهاش آشنا و مانوس هستیم و شهود خوبی داریم اما این مفهوم اندازه لبگ که در واقع تعمیم یافته حجم هست در ابعاد بالا خیلی عجیب میشه.