پس تا اینجا دیدیم که چطوری مفهوم انتگرال در احتمال زاده شده و اونو رها نمیکنه. عین یک بختک افتاده روش چرا حالا؟

چون مثال هایی وجود داره که ما میتونیم یه متغییر تصادفی تعریف کنیم بدون اینکه بتونیم انتگرالش رو حساب کنیم. وااااا؟ یعنی چی؟

یعنی اینکه بیاید یه تابع چندضابطه ای زیر رو در نظر بگیرید: تابعی که اگر عدد ورودی گویا باشه مقدارش برابر با یک هست و صفر در غیر این صورت. این تابع هم مثل تمامی توابع بالا رو اعداد حقیقی تعریف شده است. حالا اگه بخوایم انتگرال رو به صورت عادی در یک همسایگی حساب کنیم اینجاست که انتگرال عادی(ریمان) دست ما رو میذاره تو پوست گردو و نمیشه این کارو انجام داد. برای این که تصور بهتری داشته باشید بیاید و نمودار تابع روتصور کنید. بله درسته، ما با یه سری سیخ های تو در تو مواجه هستیم و این جاییه که انتگرال ریمان دچار آنگوزمان میشه.
چون اگه یادتون باشه میومدیم محور x رو به n بازه افراز میکردیم. یه بار کران بالای مقدار در هر بازه رو در نظر میگرفتیم و یه بار کران پایین رو و تهش حد رو وقتی n به سمت بینهایت میل میکرد در نظر میگرفتیم. در اینجا کران بالا در هر محدوده ای (هر چقدرم کوچیک) یک عه و کران پایین صفر بنابراین انتگرال جواب ندارد.

خب چاره چیه؟ چاره اینه که بریم در ریاضیات و مفهوم خود انتگرال رو تعمیم بدیم و به جای انتگرال ریمان از انتگرال لبگ/Lebesgue استفاده کنیم. برای اینکه چنین کاری بکنیم باید از چیزی استفاده کنیم که بهش میگن نظریه اندازه یا measure theory. حالا در این صورت میتونیم بیایم و انتگرال بالا رو هم تعریف کنیم.

حالا این انتگرال لبگ و این نظریه اندازه که میگید چی چی هست؟
داستان اینه که اینجا بجای اینکه محور x رو به مستطیل های کوچیک کوچیک افراز کنیم و بعد روی اون ها انتگرال بگیریم میایم و مجموعه تمام x هایی که مقدار تابعشون یه مقدار مشخصی هست رو «اندازه» میگریم و ضرب در اون مقدار مشخص میکنیم و بعد با هم جمع میبندیم. مثلا در مثال بالا که به تابع دیریکله معروفه، مجموعه x هایی که مقدارشون یک میشه برابر با مجموعه اعداد گویاست. حالا باید ببینیم اندازه این مجموعه اعداد گویا چقدره؟
همین طور که دوباره قابل حدسه اندازه یه تابعی هستش که یک مجموعه رو میگیره و یه عددی بهش نسبت میده.
حالا یه مثال از اندازه که اینجا میتونه معنی دار باشه این هست که اگر مجموعه شمارا باشه اندازه اش صفره. حالا با این تعریف از اندازه انتگرال تابع دیریکله تعریف میشه و مقدارش برابر با صفر هستش.
چون اون مجموعه نقاطی که مقدارشون یکه اندازه شون صفره و بالعکس.

با این دید اندازه میشه راحت دید که اصن خود احتمال چیزی نیست به جز یه نوع خاصی از اندازه که همیشه برای هر مجموعه ای بین صفر و یکه و جمعش روی تمامی حالت ها باید یک بشه.
و با این حساب میشه احتمال رخدادن مجموعه A رو به صورت انتگرال زیر تعریف کرد: