حالا اگه بخواید بیشتر ریاضیدان بازی در بیارید، بهتون میگم بیاید و یه کاری کنیم که بشه راحت تر و توی یه خط تابع رو تعریف کرد و نه فقط برای دو نقطه خاص. پس بیایم دامنه تابع رو به کل اعداد حقیقی گسترش بدیم.
در واقع میشه تابع جرم احتمال رو هم به صورت زیر باز نویسی کنیم:

P(X = x) = P_X (x) = q * 1_{x==0} + (1-q) * 1_{x==1}

خب این حالا شاید بپرسید که جریان این یک های با زیروند مجموعه که نوشتیم چیه؟
که جوابش اینه که هیچی اینا تابع مشخصه هستن که در صورتی که اون شرط داخل آکولاد برقرار باشه یک هستن و در غیر این صورت برابر صفر هستن.

با استفاده از این بازنمایی جدید یه کار دیگه که میشه انجام داد این هست که توزیع احتمال متغییر تصادفی گستته مون رو میشه به صورت یه انتگرال نوشت. به طوری که P(X =x) رو میشه به صورت یک انتگرال در همسایگی حول x تعریف کرد و طبق خاصیت تابع مشخصه حاصل انتگرال برابر مقدار تابع بغلیش در نقطه شرط تابع مشخصه است . خب شاید الان سوال براتون پیش بیاد که چرا داریم این حرکات عجیب رو انجام میدیم و مفاهیم رو هی تعمیمدهی میکنیم ولی دست به گیرنده هاتون نزنید با من همراه باشید تا آخر متن و امیدوارم که براتون واضح بشه.

خب ولی الان بدون اینکه حواستون باشه من تابع جرم احتمال رو یه طوری تعریف کردم که متغییر تصادفی ما درسته در ابتدا گستته بود ولی الان با تعریف بالا میتونه یک متغیر تصادفی پیوسته خاصی هم باشه. یعنی در واقع تابع جرم احتمال رو به ۲ صورت تعریف کردم: یکی با همون مفهوم آشنای تابع چند ضابطه ای و یکی با انتگرال گرفتن از نسخه تعمیم یافته اون تابع.

حالا بیاید یه خاصیت مهم دیگه احتمال رو یادآوری کنیم اونم اینکه جمع تمامی احتمال ها باید برابر با ۱ بشه. تو حالت گستته باز خیلی آسونه. یه جمع داریم روی تمامی رخداد های ممکن و برای هر رخداد مقدار تابع جرم احتمال اون رخداد رو در نظر میگیریم. اما الان با این حرکتی که انجام دادیم و دامنه تابع جرم احتمال رو به کل اعداد حقیقی گسترش دادیم میتونیم و انتگرال هم بگیریم.
حالا در نتیجه به مانند شکل زیر خیلی راحت میتونیم انتگرال این دوست عزیزمون رو بگیریم و باز هم به جواب یک برسیم.
انتگرال رو همیشه با سطح زیر نمودار برای ما تفسیر کردن ولی در این حالت اگه نمودار P_X رو بیایم بکشیم میبینیم که نمودار این تابع ۲ تا سیخ هستش ولی سطح زیر نمودارش صفر نیست و این تنها بخاطر حضور تابع مشخصه است.

گام بعدی در اختراع/اکتشاف مفاهیم احتمال ما این هستش که متغییر تصادفی رو در نظر بگیریم که به جای دو حالت مثلا ۶ حالت داشته باشه مثل تاس و حالا ما هستیم و یه نمودار تابع توزیع جرم احتمال با ۶ تا سیخ.

حالا گام بعدی این خواهد بود که بیاید و یه متغییر تصادفی با تعداد رخدادهای نامتناهی ولی شمارا رو در نظر بگیریم. یعنی چی؟
یعنی که فرض کنید که X میتونه یه عدد طبیعی باشه که احتمالش با توجه به شرط زیر بدست میاد:
P(X = i) = (1/2)^i for i = 1,2,3,...
حالا همین رو اگه بخوایم مثه قبل گسترشش بدیم به حالت قبلی میبینیم که
P(X = x) = (1/2)^x * 1_{x belongs to N}
حالا اگه نمودار P_X رو بیایم بکشیم میبینیم که نمودار این تابع با تعدادی بینهایت تا سیخ هستش ولی همچنان ناپیوسته است.

خب حالا اگه من دوباره بیام و بخوام مثال بالا رو تعمیمش بدم چی؟ جالب میشه نه؟ به این صورت که حالا این سری به جای اینکه تابع من روی نامتناهی نقطه اما شمارا تعریف بشه روی نامتناهی ناشمارا نقطه تعریف بشه. شبیه این گام رو در حسابان موقع تعریف مفهوم انتگرال هم شاید دیده باشید. حالا میتونیم یه تابع پیوسته به جای این تابع های سیخ سیخی تعریف کنیم. چرا؟ چون توابع پیوسته خوبن. بلدیم چطوری باهاشون کار کنیم.

اما یه فرقی که ایجاد شد اینه که احتمال هر تک نقطه برابر با صفره. چرا؟
چون قبلا میتونستیم یه همسایگی اطراف هر رخداد پیدا کنیم که وقتی انتگرال میگیریم بخاطر حضور تابع مشخصه در حاصل انتگرال فقط مقدار اون نقطه حضور داشته باشه ولی حالا اگه یه تابع پیوسته ای داشته باشیم هر همسایگی(هرچقدر کوچیک) اطراف نقطه مورد نظر تعریف کنیم حاصل انتگرال صفر میشه. پس حالا در واقع با این تعریف ما احتمال بیشتر از صفر رو در بازه هایی از اعداد حقیقی داریم و احتمال رو به اون نسبت میدیم و به این تابعی که ازش انتگرال میگیریم میگیم تابع چگالی احتمال . چرا چگالی؟ چون این تابع داره انگار چگالی هر بازه خیلی کوچیکی روی محور اعداد حقیقی رو به ما میگه.