نمونه گیری از توزیع گیبس

قسمت اول: مروری بر نظریه احتمال

خب من بعد از مدت ها برگشتم. اول از همه باید بگم که من متاسفم که انقدر دیر دارم جواب این سوال ها رو میدم.
دوم باید بگم که جواب تمام سوال های بالا b یا همون بیلاخ وارون بود.
میدونم که این جواب برای بعضی ها میتونه شوکه کننده باشه و الان این طورین که پس توضیحات؟!

همین ابتدا تاکید کنم که هدف از طراحی این سوال ها ابدا امتحان گرفتن یا محاسبه انتگرال روی سطح و تغییر مختصات دستگاه قطبی نبود بلکه هدف دقیق ترین شدن و عمیق تر شدن روی مفاهیم احتمال مخصوصا در احتمال در ابعاد بالا بود.

خب اما برای اینکه توضیحات رو به اندازه کافی بدم تا کتکم نزنید، بیاید با این شروع کنیم که اصن تابع چگالی احتمال یا Probability density function چیه؟ که گوسی چندمتغییره اش چی باشه؟
میدونم که احتمالا اکثرا میدونید که چیه، منظورم اینه که بیاید یکم غور کنیم درش.
اگه با مفاهیم نظریه احتمال آشنا هستید این متن رو رها کنید و شاید بهتر باشه قسمت های بعدی رو بخونید اگه دوست داشتید.


داستان ازونجایی که شروع میشه که بطور تاریخی احتمال برای متغییر تصادفی های گسسته شروع میشه. تو ایران هم معمولا تو راهنمایی/دبیرستان بیشتر باهاشون سر و کله میزدیم. این انتخاب تصادفی نبوده چون بنظر من درک مفاهیم احتمال در فضای گسسته خیلی سرراست تر و ملموس تره.

خب پس بیاید با همون مفهوم سر راست تر خودمون شروع کنیم. ما در دنیای متغییرهای تصادفی گسسته یه تابعی داریم به اسم تابع جرم احتمال /probability mass function . این بنده خدا میاد میگه که متغییر تصادفی شما چقدر احتمال داره مقدارش 'رو' باشه.
و این طوری هم نشونش میدیم
P (X = 'رو') = 0.37.

پس در واقع تابع جرم احتمال از شما یه عضو توی فضای نمونه میگیره(مثلا 'رو') که بهش میگیم رخداد و بهتون احتمال اون رخداد رو برمیگردونه. انتظار داریم که عدد احتمال عددی بین صفر و یک باشه و جمع احتمال رخداد ها برابر با یک باشه.
حالا اینکه این عدد دقیقا چه معنایی داره بحث رو یکم فلسفی میکنه ولی از دید فراوانی گرایانه یعنی اگه بی نهایت بار این آزمایش رو تکرار کنیم با چه فراوانی سکه 'رو' میاد.

خب حالا بیاید یکم ازین کارایی بکنیم که ریاضیدان ها میکنن. یعنی چی کار؟ یعنی انتزاعی سازی.
شما به عنوان ریاضیدان، بترکون که باشی باید سعی کنی یه مفهومی رو در روزمره ببینی عمیقا درکش کنی و بعدش هی انتزاعیش کنی. چرا؟ چون احتمالا ۲ هزارتا جای دیگه هم اون چنین مفهومی هست و اون زبون سطح بالای انتزاعی میتونه یکجا واقعیت هایی رو در مورد تمومی اون ۲ هزار کاربرد نشون بده.

خب اولین کار اینه که بیایم و به جای کلمه های 'پشت' و 'رو' دو تا عدد طبیعی صفر و یک رو در نظر بگیریم. خب تبریک میگم شما متغییر تصادفی برنولی رو بازتولید کردید که هزار جای دیگه کاربرد داره. پس الان دامنه تابع جرم احتمال شما مجموعه {0,1} هستش و برد شما اعداد حقیقی بین صفر و یک [0,1].
خب حالا اگه بخوایم این تابع رو به زبون ریاضی نشونش بدیم چیکارش میکنیم؟
اگه یادتون باشه توی دبیرستان مفهوم تابع چند ضابطه ای رو داشتیم که اینجا تابع ما دو ضابطه ای هستش. که به صورت عکس پایین نشونش میتونیم بدیم.

#math