Всё-таки я смог найти решение проблемы со странным поведением тачпада после обновления графического стека (кстати в комментариях всплыли и другие проблемы после данного обновления). Решение выглядит слишком хардкорным и кому-то может не понравится, но другого обходного пути пока не существует.

Чтобы вернуть всё как было, придётся откатить графический стек до дефолтного состояния Ubuntu 16.04. Рекомендую выполнять нижеописанные инструкции только в том случае, если вы действительно испытываете какие-то проблемы в работе. И всё на свой страх и риск.

Итак, сперва вам нужно удалить пакеты HWE:
sudo apt remove xserver-xorg-core-hwe-16.04 xserver-xorg-input-all-hwe-16.04 xserver-xorg-video-all-hwe-16.04
Данная команда должна удалить «иксы» и метапакет elementary-desktop. Всего у меня получилось 19 пакетов к удалению.

Затем тут же (не перезагружаясь!) запустите эту команду:
sudo apt install elementary-desktop xserver-xorg-core
Возвращаем elementary-desktop и устанавливаем «иксы» более старой версии.

После этого затаите дыхание и перезагрузитесь. Если всё прошло гладко, то вы увидите свой рабочий стол и нормально работающий тачпад.