Корреляция по большей части просто случайна

Рассмотрим N активов, где N, например, 500 акций из индекса S&P 500. Отнормируем их доходности, чтобы дисперсии были примерно равны 1, и выведем ковариацию. Получим матрицу корреляции после нормировки.

Если начать строить сложные модели на основе этой матрицы, то, окажется, что она в основном случайна. Полезнее будет подбросить монетку или попросить ГПТ проанализировать отчетность.

Почему так? Рассмотрим N независимых случайных величин, одинаково распределенных с дисперсией σ². Сгенерируем последовательности длиной T. Мы знаем, что они случайны и независимы — их матрица корреляции единична. Но в реальности это не так, потому что реализации случайны.

Это приводит нас к эмпирической (случайной) матрице корреляции C, для которой типична картинка 1 для плотности спектра собственных чисел.

Так вот, если рассмотреть настоящую матрицу корреляции S&P 500, где акции отнормированы на волатильность, мы обнаружим, что лишь небольшой процент собственных чисел лежит не там, где предсказывает теория для случайных матриц (картинка 2, “non random”; да, вот эта крошка справа).

Интересно, что маленькие собственные числа в начале координат — это числа, которые соответствуют собственным векторам-портфелям, наиболее диверсифицированным портфелям из Марковица. И они похожи на то, что генерируется шумом.

Мы можем тщательно оптимизировать наши портфели, но в конечном итоге это может быть просто шум, не связанный с экономической динамикой. А «рыночный» фактор, который управляет всеми доходностями, сидит в правой части спектра.

Поэтому матрицу корреляции надо чистить от шума. Например, с помощью денойзинга.

Quant Researcher