✏️ Разбор задачи с экзамена ШАД

Условие: В корзине лежит m чёрных шаров и n красных. Мы достаём из корзины случайный шар и, если он чёрный, то заменяем его на красный, а если он красный, то кладём его обратно. Найдите математическое ожидание числа красных шаров в корзине после k итераций этой процедуры.

Решение: Обозначим количество красных шаров в корзине после k итераций как x. Нужно найти математическое ожидание величины x.

✍️ Поскольку мы кладём шар обратно в корзину, если он красный, то x = n + y, где y — количество чёрных шаров, которые стали красными после k итераций.

Пронумеруем чёрные шары. Для каждого j-го чёрного шара введём случайную величину I-джитое 1️⃣, которая будет индикатором того, что j-й чёрный шар стал красным после k итераций. Эта случайная величина равна единице, если шар поменял цвет, и нулю, если не поменял. Следовательно, сумма 2️⃣ таких величин будет равна количеству поменявших цвет шаров, которое мы выше обозначили как y. Получаем формулы 3️⃣ и 4️⃣. Вспомним, что матожидание — это сумма произведений вида «значение × вероятность этого значения». В нашем случае значений всего два: 1 и 0.

Получилась сумма вероятностей того, что j-й чёрный шар поменял цвет. Посчитаем эту вероятность. Нам будет удобнее перейти к отрицанию 5️⃣.

Чему равна вероятность, стоящая после знака минус? У нас есть k попыток вытащить шар. Поскольку попытки независимые, то вероятность после знака минус будет равна некоторому выражению в k-й степени — произведению вероятностей того, что при каждой попытке мы не вытащили данный шар.

Какова вероятность не вытащить шар в каждой конкретной попытке? Это будет дробь, в знаменателе — общее число шаров m + n. Мы должны были вытащить какой-либо шар кроме j-го. Вариантов так сделать — m + n – 1. Это выражение и будет в числителе 6️⃣.

Вычисляем искомое ожидание:
7️⃣ Все вероятности, стоящие справа под знаком суммы, — одинаковые. Поэтому сумма будет равна количеству чёрных шаров m, умноженному на вероятность, что конкретный шар поменял цвет.

Затем остаются 8️⃣ и 9️⃣

Хотите подготовиться к офферу или подтянуть знания? Оставляйте заявку на наш курс по математике для Data Science 💙

Справились с задачей?
❤️ — Всё максимально понятно
🔥 — Провалил

🔹 Получить консультацию менеджера
🔹 Сайт Академии 🔹 Сайт Proglib

🏃‍♀️ Proglib Academy

#буст