Всем знакомо число π. Это отношение длины окружности к её диаметру, равное 3,14159… и бесконечно много знаков далее. Формулы длины окружности 2πr, площади круга πr², объёма шара 4/3 πr³ — естественная среда обитания числа.
Но иногда π неожиданно появляется в тех местах, где, казалось бы, нет особой геометрии и, тем более, никаких окружностей. Более того, феномен помогает находить новые методы вычисления этого самого π. Рассказываем в двух частях!
🔸В 1777 году французский натуралист Жорж-Луи Леклерк де Бюффон предложил задачу, которая стала первым примером геометрической вероятности.
Вот условие:
Представьте пол с параллельными линиями, расстояние между которыми равно L. Вы берёте иглу длиной l, где l не более чем L, и случайным образом бросаете её на пол.
Какова вероятность, что игла пересечёт одну из линий?
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
Бюффон показал, что эта вероятность равна 2l ⁄ πL.
В задаче про бросание иглы, где есть только прямые линии и случайность, появилось π! Но точно ли тут нет окружности?
🔸Вообще говоря… есть! Когда мы бросаем иглу на пол, у неё есть две случайные величины:
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
🎨🎨🎨🎨🎨🎨
d — положение центра иглы относительно ближайшей линии
α — угол наклона иглы относительно некоторого направления (обычно его берут совпадающим с направлением линий)
✅ И вот ключевой момент: угол будет равномерно распределён от 0 до 2π!
Когда игла падает, она может упасть под любым углом с равной вероятностью — это и есть та самая окружность, которая прячется в задаче.
Игла «крутится» вокруг своего центра, и все направления равновероятны. И когда мы рассматриваем все возможные ориентации иглы, мы фактически рассматриваем точки на окружности.
*️⃣На самом деле задачу Бюффона можно даже переформулировать явно через окружность: вместо иглы мы бросаем радиус окружности или диаметр. Центр может оказаться где угодно, а радиус может быть направлен в любую сторону. Условие пересечения с линией — это условие на угол и положение, которое естественно включает π.
Эта незатейливая задача открыла математикам один из методов приближённого вычисления π (тут, наконец, должен проясниться смысл мема, с которого мы начали). Расскажем о методе подробнее в следующем посте.
🤯— если загрузили инфой
🤓— если хотите продолжения
#как_устроено