Вероятности выигрыша и проигрыша в каждой номинации
Так как у нас нет дополнительной информации, считаем, что вероятности выиграть одинаковы для всех претендентов. Всего их 4 в каждой номинации, значит:
• вероятность выигрыша для каждого участника равна 1/4=0.25,
• вероятность проигрыша равна 0.75.
1) Ситуация «выиграть хотя бы 3 Тони»
Сделать это можно многими способами: можно одержать 3, 4 или любое другое большее число побед. А вот НЕ сделать это — проще: нам не подойдут ситуации только с 0, 1 и 2 победами. Так что исключим неподходящие варианты:
P(выиграть хотя бы 3) =
= 1 - Р(выиграть 0) - Р(выиграть 1) - Р(выиграть 2).Посчитаем каждое вычитаемое
❄️ Не выиграть ничего можно только одним способом — проиграть во всех номинациях. Вероятность 0.75¹².
❄️ Выиграть 1 премию можно 12 способами — выиграть в какой-то одной и проиграть во всех остальных. Вероятность 12⋅0.25⋅0.75¹¹
❄️ Взять 2 награды — разными способами. Их количество — это число сочетаний из 12 по 2. Оно равно: (12⋅11)/2 = 66. Вероятность: 66⋅0.25²⋅0.75¹⁰.
Соберём всё вместе
P(выиграть хотя бы 3) =
= 1 - 0.75¹² - 12⋅0.25⋅0.75¹¹ - 66⋅0.25²⋅0.75¹⁰ ≈ 0.609. Вероятность взять хотя бы 3 Тони — примерно 61%. Неплохо!
И звучит логично: если у мюзикла 12 номинаций, то вряд ли он выиграет мало или вообще ничего. Но это в абстрактном математическом мире, конечно же.
- - -
Остальные случаи разобрали в комментариях.
Подробнее о сочетаниях — в посте.