Решим пятничную задачу про велосипеды. 🚲
И сразу же отметим классную альтернативную формулировку, предложенную в комментариях!

Логичный максимум взвешиваний
Велосипед, массой 1 кг можно ставить в пару с любым велосипедом кроме самого тяжёлого — и автомобиль не сломается. Значит, за за 9 взвешиваний (в паре с каждым со 2-го по 10-й) точно получится доказать то, что нужно. Ну это-то понятно.

А можно ли как-то побыстрее?
Можно и нужно!
Поставим на автомобиль сразу четыре велосипеда: массой 1, 2, 3 и 5 кг, а потом сразу три – 1, 4 и 6 кг. Обе суммы по 11, так что в обоих случаях машина не сломается.
Заметим, что повторялся только один велосипед — его масса как раз 1 кг.

Казалось бы, на этом всё. Но нет!
Для исчерпывающего решения нужно также доказать, что провернуть такое другим способом не получится.

Пусть в первый раз был использован набор с весами a, b, с, d и во второй — a, e, f. Эти переменные должны удовлетворять системе неравенств:
a+b+c+d⩽11,
a+e+f⩽11.

Сложим неравенства – получим третье, которое тоже будет верным:
2a+b+c+d+e+f⩽22.
Здесь шесть натуральных чисел, одно из них задвоено.

Минимальная сумма шести разных натуральных чисел выглядит так:
1+2+3+4+5+6=21.
И это без задвоения!
Чтобы не превысить 22, задвоить можно только 1.

Ну теперь всё, да?
Мы показали, как определить нужный велосипед за 2 взвешивания и доказали, что других вариантов нет.

Но по-хорошему ещё нужно доказать очевидный, но важный факт — что нельзя управиться за меньшее количество взвешиваний, то есть за одно. 😁

• Если мы ставим только один (любой) велосипед, то машина точно не ломается, то есть никакой велик идентифицировать не удастся.
• Пусть мы ставим два велосипеда и машина не ломается. Если среди них есть велик в 1 кг — мы не сможем узнать, какой именно, не прибегая к дополнительным взвешиваниям. Если же его там нет — то нам снова нужны доп. взвешивания, чтобы его отыскать.
Это был душный момент решения, но в математике иногда приходится доказывать очевидные вещи.

И вот теперь — доказано окончательно. И, надеемся, продано! 🚴‍♂️