Дракарис!
Решим задачу про драконьих наездников.

Общая концепция

Мы не знаем, с какого раза всё получится удачно, и искомая вероятность успеха будет равна сумме вероятностей успеха с разных попыток. То есть нам нужно понять, когда сумма всех вероятностей достигнет нужных нам 95%.

Начнём расчёты

• Может повезти прямо в первый раз, но вероятность этого всего 10% или 0.1.

• Может не повезти в первый, но повезти во второй — эта вероятность равна 0.9·0.1=0.09.
А общая сумма — 0.1+0.09=0.19. Это вероятность того, что повезло в первый или второй раз.

• Если удачной была только третья попытка — это 0.9·0.9·0.1.
Общая сумма 0.19+0.081=0.271 и так далее.

Не так уж быстро растёт суммарная вероятность...
Считать вручную можно, но долго.

Ускоримся

Лучше сказать, что вероятность смэтчиться при попытке номер n равна 0.9ⁿ⁻¹·0.1.
Тогда нужно решить неравенство:
0.1 + 0.9·0.1 + …+ 0.9ⁿ⁻¹·0.1 ⩾ 0.95.
Вынесем 0.1 за скобки, получим:
0.1·(1 + 0.9 + …+ 0.9ⁿ⁻¹) ⩾ 0.95.

Внутри скобок находится сумма геометрической прогрессии!
Её первый член равен единице, а каждый следующий получается умножением на 0.9. Сумма её первых n членов находится по формуле:
1(1-0.9ⁿ)/(1-0.9)=
(1-0.9ⁿ)/0.1=10(1-0.9ⁿ).

Тогда наше неравенство будет иметь вид
0.1·10(1-0.9ⁿ) ⩾ 0.95,
что великолепно упрощается до
1-0.9ⁿ ⩾ 0.95 🥰

Отсюда 0.9ⁿ ⩽ 0.05.
Нам надо найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству. Здесь мы рекомендуем остановиться на несколько секунд и попробовать прикинуть, чему равно это число. :)

Чтобы найти его формально, прологарифмируем по основанию 0.9. Поскольку основание меньше 1, знак неравенства изменится. Получим:
n ⩾ log₀̣₉0.05,
n ⩾ 28.433.
Значит, 29 попыток дадут нам мэтч с уверенностью 95%.

А сколько попыток нужно для 100% уверенности?

Здесь упс — никакое конечное количество попыток не может стопроцентно гарантировать драконье-человечий мэтч. Предлагаем вам обосновать этот факт. 😇

Хорошая новость — мы знаем, как будут выглядеть вероятности всех последующих удачных попыток.
Например, для 99% уверенности потребуется уже 44 человека.