Докажем формулы площади восьмугольника из романтичного питерского видео.

1) Докажем, что S₈=a²-b².

На иллюстрации видно, что правильный восьмиугольник — это квадрат, в котором отрезаны одинаковые уголки. Каждый уголок — прямоугольный треугольник.

Значит, площадь восьмиугольника — это площадь квадрата без площади уголков-треугольников.

Площадь квадрата равна a².
Площадь каждого треугольника равна 0.5⋅(b/√2)⋅(b/√2)=b²/4.

Отсюда S₈=a²-4⋅(b²/4)=a²-b². Вуаля — доказано!

2) Докажем вторую формулу: S₈=2ab.

Снова пригодятся треугольники! Проведём отрезки из центра восьмиугольника (он совпадает с центром квадрата) во все вершины восьмиугольника. Получим 8 треугольников. Они все равнобедренные и одинаковые!

Площадь такого треугольника можно найти разными способами, например, через основание и высоту. Основание каждого равно b, высота — a/2. Отсюда площадь каждого треугольника равна 0.5⋅b⋅a/2=0.25ab. И тогда S₈=8⋅0.25ab=2ab. Доказано!

3) Мы вошли в раж, поэтому не остановимся и докажем ещё раз вторую формулу — другим способом!

Формулу S₈=2ab, можно доказать алгебраически, связав её с первой. Другими словами, надо убедиться, что a²-b²=2ab.

Переменные a и b связаны. Выразим первую через вторую, опираясь на чертёж:

a=b/√2+b+b/√2=b+2b/√2=b√2+b.

Теперь возьмём выражение a²-b² и попытаемся превратить его в 2ab. Подставим вместо a формулу выше и раскроем скобки:
a²-b²=(b√2+b)²-b²=(2b²+2√2b²+b²)-b²=2√2b²+2b²=2b(b√2+b)=2ba.

Что и требовалось доказать!