Квантиль

Продолжаем изучать статистику! Мы уже рассказывали про среднее и медиану. Эти характеристики помогают понять, как данные ведут себя «в среднем».

Но бывает нужен и другой взгляд. Например, социологи исследуют, в какой стране проблема разницы в доходах бедных и богатых ощущается острее. Исследователи хотят понять, сколько зарабатывают 10% самых бедных, а сколько — 10% самых богатых жителей каждой страны. Проанализировать это поможет новое понятие — квантиль.

Определение
Квантиль — это значение, которое случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью.
Например, фраза «0.9-квантиль длины песни у группы „Ноги вниз” составляет 3.5 минуты» означает, что у 0.9 (то есть у 90%) всех песен этой группы длина меньше или равна 3.5 минутам, а длина оставшихся 0.1 всех песен — больше либо равна 3.5 минутам.

Как вычислить квантиль
Есть несколько подходов к вычислению квантиля, мы предлагаем такой:

1) отсортировать набор данных по возрастанию,

2) найти номер элемента по формуле: n·k, где n — количество элементов в наборе, k — та доля, которая нас интересует.

Пример
Пусть у нас есть данные: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95.
Здесь n=10 элементов.

Найдём 0.3-квантиль. Вычисляем n·k = 10·0.3 = 3 — это номер нужного элемента. В данном случае третий элемент — это 25.

Поэтому 0.3-квантиль данного набора равен 25. Это значит, что 30% наблюдений меньше или равны 25, а оставшиеся 70% наблюдений больше или равны 25.

Пример посложнее

Добавим в набор ещё несколько элементов: 1, 5, 13, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95, 105. И вычислим 0.3-квантиль.

Элементов 13, 0.3·13=3.9, это нецелое число.

Договоримся, что если при умножении n·k получается дробное число, то мы будем брать среднее значение двух ближайших соседей. Третий элемент равен 13, четвёртый — 15. Их среднее равно 14.

Значит, 30% наблюдений меньше, чем 14, а 70% — больше.

Аналог квантиля

Квантиль всегда является долей от единицы. Если удобнее считать в процентах, то характеристика называется перцентиль, или процентиль. Например, 0.7-квантиль равен 70-перцентилю. Алгоритм вычисления тот же.

Популярные квантили
Но чаще всего используют квартили — они делят набор данных на 4 равных части:

Q₁ (первый квартиль) — 0.25-квантиль.
Q₂ (второй квартиль) — 0.5-квантиль, он отсекает 50% данных, это уже знакомая вам медиана!
Q₃ (третий квартиль) — 0.75-квантиль.

Квартили формируют ядро данных. Обратите внимание: левее Q₁ находятся 25% всех значений и правее Q₃ тоже 25% значений. А значит, между Q₁ и Q₃ лежит ровно половина всех наблюдений. Считается, что это наиболее стабильная часть выборки.

Задача
Пришла пора немножко порешать!
Аналитик Марина взяла из приюта котёнка 15 недель назад и подсчитывает число его милейших фотографий по неделям:
117, 148, 210, 50, 78, 205, 61, 99, 104, 213, 72, 68, 156, 85, 101.

Найдите Q₁ и Q₃.
Решения и ответы ждём в комментах под скрытым текстом.