Наверняка вы слышали про эту парочку. :) Парадоксальное утверждение о них будоражит умы уже 2.5 тысячи лет! Есть много формулировок, рассмотрим такую:
Ахиллес находится на расстоянии в 1000 шагов от черепахи и бежит в десять раз быстрее неё. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха отползёт на сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха отползёт ещё на десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться бесконечно, и Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.Звучит как будто логично, но мы просто из жизненного опыта знаем, что быстрый всегда догоняет медленного — вопрос лишь затраченного времени. Бесконечности как будто должно хватить. 😁
Разбираем парадокс
С точки зрения математики, мы делим конечный непрерывный отрезок пути бесконечно много раз. И поскольку путь непрерывный и ненулевой, мы никогда не получим ноль.
Но в реальном мире согласно современным научным теориям есть минимальная единица длины. И черепаха, и Ахиллес не будут делать бесконечно малых шажочков — шаг каждого имеет конкретную длину. Получается, в физическом мире путь дискретен.
В дискретном и непрерывном действуют разные законы.
Особенные явления на бесконечности
Парадокс возник в то время, когда математики работали только с конечными множествами и не умели обращаться с бесконечностями. А на бесконечностях происходит тааакоооое — то, чего не бывает в конечных размерах.
Например, сумма бесконечного количества слагаемых вполне может быть конечной. Посчитаем длину путей Ахиллеса и черепахи на бесконечности и…
Убедимся, что догонит
Переобозначим так, что Ахиллес начинает в нуле, а черепаха в точке 1 (то есть единичный отрезок равен 1000 шагам).
Сумма расстояний, пройденных Ахилессом, — это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2.
Значит, за бесконечное время Ахиллес пробежит 2*1000=2000 шагов.