После первого шага в урне один шар, после второго — два, после третьего — три. После любого конечного числа n шагов там будет n шаров, поэтому кажется очевидным, что к полуночи их должно стать бесконечно много. Но в условии мы не уточнили, какой именно шар достаём каждый раз. Мы можем пронумеровать их и на шаге n доставать шар с номером n. Тогда для любого конкретного шара можно указать момент, когда его достанут: первый исчезнет на первом шаге, второй — на втором и так далее. После каждого конечного числа операций шаров в урне всё больше, но после всей бесконечной последовательности не остаётся ни одного.
Но можно поступить по другому — каждый раз доставать один из двух только что положенных шаров, а второй оставлять — тогда к полуночи их будет счётно бесконечно много. Можно подобрать правило и так, чтобы осталось ровно один, десять, 42 — куда же без него, — или вообще любое заранее выбранное конечное число. Знать, что на каждом шаге мы добавили два шара и убрали один, для бесконечного процесса недостаточно.
Похожую конструкцию описывал Джон Литлвуд. В его оригинальной задаче на каждом шаге в коробку клали десять новых шаров и доставали один с очередным номером. Литлвуд поместил задачу в раздел с отличным названием Mathematics with Minimum “Raw Material” — «математика с минимумом сырья». А после решения заметил, что аналитик, постоянно сталкивающийся с подобными конструкциями, просто увидел бы, что итоговое множество пусто, и ничего особенно парадоксального здесь не заметил бы.
Наша задача — немного изменённая версия того, что обычно называют парадоксом Росса—Литлвуда. Мы убрали заданное правило удаления, а без дополнительного условия ответ не определён. Это наглядная иллюстрация знакомой по университетскому матанализу неопределённости ∞ − ∞. Мы добавили бесконечно много шаров и достали бесконечно много шаров, но это само по себе не определяет итоговое число шаров в урне.
Похожая история происходит в отеле Гильберта. Представим отель с бесконечным числом комнат, причём все они заняты. В конечном мире это означает, что мест больше нет. В бесконечном достаточно переселить жильца из комнаты n в комнату n + 1, и первая комната освободится. А если каждого переселить из n в 2n, освободится уже бесконечно много комнат. Точно так же из бесконечного отеля может выехать бесконечно много постояльцев, а остаться может три человека или тоже бесконечно много. Важно не только сколько, но и кто именно куда переместился. В нашей урне эту роль играет правило, определяющее, какой шар мы достаём.
В комментариях возникло и более фундаментальное возражение: «А полночь вообще наступит?» и догонит ли Ахиллес черепаху. С промежутками времени математика справляется:
½ + ¼ + ⅛ + … = 1, так что бесконечная последовательность моментов имеет вполне определённый предел. Вопрос в другом: можно ли считать, что бесконечное число последовательных действий действительно завершилось, и после этого спрашивать о состоянии урны.Такие процессы называют supertasks. И здесь начинается уже не только математика, но и философия. Например, математик и философ Жан Поль Ван Бендегем считал, что проблема парадокса Росса—Литлвуда возникает в самом предположении о возможности завершить бесконечную последовательность операций за конечное время. Поэтому ответ «полночь не наступит» из комментариев оказался не просто шуткой, а довольно близким родственником одной из серьёзных трактовок парадокса.
Получается действительно математика с минимумом сырья: урна, несколько шаров и бесконечность. А внутри — неопределённость ∞ − ∞, отель Гильберта, Ахиллес с черепахой и вопрос о том, можно ли вообще закончить бесконечность.