На первый взгляд в задаче всё выглядит как вполне приличный рейтинг: кость A обыгрывает B, B обыгрывает C, а C — D. Причём каждая делает это с вероятностью 2/3. Остаётся только расставить кубики по местам, вручить A золотую медаль, отправить D в нижнюю часть турнирной таблицы и разойтись.
Но у нас есть контрпример. Возьмём знаменитые кости Эфрона. Их придумал Брэдли Эфрон (на фото) — американский статистик, много лет работавший в Стэнфорде и вошедший в историю прежде всего как создатель бутстрэпа, одного из важнейших методов современной вычислительной статистики. За вклад в теоретическую и прикладную статистику Эфрон получил Национальную медаль науки США.
На фоне таких достижений набор необычных кубиков выглядит почти математической шуткой. Но именно эта шутка удивительно наглядно показывает, почему попарные сравнения могут нас обманывать.
Кубики устроены так:
A: 0, 0, 4, 4, 4, 4
B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
C: 2, 2, 2, 2, 6, 6
D: 1, 1, 1, 5, 5, 5Начало полностью подтверждает нашу иерархию. На кости B всегда выпадает 3, а A показывает 4 в четырёх случаях из шести. Поэтому вероятность того, что A обыграет B, равна 2/3.
Дальше B обыгрывает C: тройка сильнее двойки, а двоек на кости C тоже четыре из шести. Снова 2/3.
С парой C и D расчёт немного интереснее. Если на C выпадает 6, она выигрывает при любом результате D. Если выпадает 2, она побеждает только единицу. Вероятность первого случая равна 2/6, второго — 4/6 × 3/6. В сумме снова получается 2/3.
Пока всё выглядит так, будто A действительно должна быть сильнейшей. Но теперь сравним D и A.
Половина граней D содержит пятёрку, которая побеждает любой результат A. На остальных гранях стоит единица: она проигрывает четвёрке, но выигрывает у нуля. Поэтому вероятность того, что D обыграет A, тоже равна 2/3.
Вместо аккуратной лестницы возникает кольцо:
A > B > C > D > A.Каждая кость обыгрывает следующую с вероятностью 2/3 и с той же вероятностью проигрывает предыдущей. Сильнейшего кубика в наборе нет — есть только удачные и неудачные соперники. Попробуйте самостоятельно сравнить A с C и B с D, там тоже результат неинтуитивен.
Сама идея циклических сравнений старше костей Эфрона. Похожий эффект давно известен в теории голосования как парадокс Кондорсе: большинство может предпочитать A варианту B, B — варианту C, а C — варианту A. Набор Эфрона получил широкую известность после колонки Мартина Гарднера о нетранзитивных костях, опубликованной в Scientific American в 1970 году.
У этой конструкции есть ещё одна любопытная игровая особенность. Представим простую игру для двух участников. Перед ними лежат четыре кости Эфрона. Первый игрок выбирает любую из них, после чего второй, уже видя его выбор, берёт одну из оставшихся. Затем оба одновременно бросают свои кости, и побеждает тот, у кого выпало большее число.
Кажется, что преимущество должно быть у первого игрока: именно он может выбрать лучшую кость. На деле всё наоборот. Какую бы кость он ни взял, у второго всегда найдётся ответ, который выигрывает у неё с вероятностью 2/3.
@pique_analyst