⚛️💜💜💜💜💜💜💜💜💜
💜💜💜💜💜💜💜💜💜💜💜
        Теорема Нётер. Часть 1
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
🍐: Всем привет, я Никита, и сегодня мы не поговорим об одном из самых фундаментальных значений симметрии в физике. О физике мы поговорим во второй части, а тут пока подготовим наши невинные мозги. #физ_инфо
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
⚛️Обсудим нашу интуицию того, что же такое симметрия и как её описывать математически. Из геометрии кто-то, может, сразу вспомнил осевую симметрию или центральную симметрию. Что это значит? О таких видах симметрии в геометрии мы говорили, если картиночка не менялась при определённых преобразованиях:

— Каждая точка переходит в точку, "зеркальную" относительно некоторой оси — т.е. сдвигается в направлении оси на 2d, где d — расстояние от исходной точки до оси симметрии. Такой тип симметрии называют осевым.

— Каждая точка переходит в точку, лежащую на одной прямой с некоторой другой выделенной точкой. Причём расстояние между исходной точкой и тем, где она окажется, равно 2d, где d — расстояние от исходной точки до нашей "особой", выделенной точкой. Такую точку называют центром симметрии, а саму симметрию — центральной.

Такие преобразования, которые оставляют картинку неизменной, называют преобразованием симметрии (картинка 1).

Очень важная идея, которая объединяет эти два вида симметрии — мы можем, во-первых, говорить про них независимо от того, какая природа у картинки. Они могут быть присущи абсолютно любым картинкам или рисункам. Во-вторых, если картинка соответствует какому-то из этих видов симметрий, мы можем применять соответствующее преобразование симметрии несколько раз подряд. Допустим, мы можем дважды зеркально отразить картинку относительно оси симметрии — полученная картинка СНОВА будет неотличима от исходной. Значит, композиция (т.е. применение последовательно) двух преобразований симметрии ТОЖЕ является преобразованием симметрии.
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
🌟Второй пример — симметрии треугольника (картинка 2). Этот пример классический для теории групп. Представьте себе треугольную картоночку, лежащую на поверхности стола. Треугольник правильный, равносторонний. Зададимся вопросом: какие движения треугольника мы не сможем заметить, если закроем глаза, кто-то передвинет треугольник, мы откроем глаза, а он останется для нас "нетронутым"? Человек с математическим складом ума (или хитростью в жопе играющей) может сразу сказать, что можно вовсе никак не двигать треугольник — и он окажется прав! Действительно, если его вообще не тронут, мы уж точно никакой разницы не заметим. Первое движение мы нашли.

Еще треугольник можно повернуть на 120°. Будем отсчитывать поворот по часовой стрелке. Обратите внимание на рисунок. Если пронумеровать вершины по часовой стрелке (1, 2 и 3), то при повороте на 120 градусов вместо вершины 1 окажется вершина 3, вместо 2 — вершина 1, а вместо вершины 3 будет вершина 2. Т.е. мы перешли от конфигурации 123 → 312. Можно повернуть на 240° — тоже ничего не изменится! Но тогда вершины преобразуются 123 → 231. Поворот против часовой стрелки на 120° и 240° соответствует повороту по часовой на 240° и 120° соответственно (доказательство очевидно и предоставляется как упражнение читателю).
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
⚛️Все ли симметрии треугольника мы рассмотрели? Если картонка идеальная, то с двух сторон она одного цвета. Значит, треугольник можно перевернуть! (картинка 3) Но переворачивать его надо так, чтобы он после переворота лежал так же, как и до. Тогда (смотрим на картинку блин!!!) нам добавляется еще три так называемых преобразования инверсии — когда мы поднимаем треугольник, и переворачиваем на 180° его плоскость вокруг одной из осей, которая лежит на точках центра треугольника и одной из вершин. Это преобразования 123 → 132, 123 → 213, 123 → 321. Теперь точно всё! Запишем все наши преобразования и обозначим их буквами:

1) 123 → 123 = e
2) 123 → 312 = R120 (от англ. rotation - вращение)
3) 123 → 231 = R240
4) 123 → 132 = I23 (от англ. inversion - инверсия)
5) 123 → 213 = I12
6) 123 → 321 = I13

Продолжение ниже!!
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
⚛️ АРХИВ ФИЗ ИНФО ⚛️