💜💜💜💜💜💜💜💜💜💜
💜💜💜💜💜💜💜💜💜💜💜💜
💜💜💜💜💜💜💜💜
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
🍐: Всем привет друзья я Никита это моё первое физ инфо :з
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
⚛️В рамках школы учеников знакомят лишь с одной формулировкой классической механики — формулировкой Ньютона. Она основывается на трёх ньютоновских законах, а ключевым является второй — в принципе, из второго закона Ньютона и выводится уравнение движения.
Лагранжева формулировка в каком-то смысле эквивалентна ньютоновской: уравнения движения получаются такими же, но построение и сама философия отличается. Лагранжев подход важен для теории поля (что классической, что квантовой), ну и классические задачи зачастую с использованием лагранжевой механики могут решаться в разы проще и быстрее. Надеюсь, мотивацию объяснил. Перейдём к сути!
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
🌟Ключевым для построения лагранжевой механики является понятие функционала. Это математическое понятие. Функционал — это функция, аргументом которой являются некоторые объекты (например, векторы или функции), а областью значений — числа. То есть функционал обращает что-то в числа. Примером функционала, который встречается в школьном курсе математики является определённый интеграл с зафиксированными пределами интегрирования. Такой определённый интеграл ставит в соответствие подынтегральной функции f некоторое число, которое является значением определённого интеграла.
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
⚛️Рассмотрим некоторую механическую систему. Выберем для этой системы некоторый набор координат, которые однозначно описывают состояние этой системы. Такие координаты обозначаются буквой q и называются обобщёнными координатами. К примеру, если система — математический маятник, для описания в качестве обобщённой координаты можно выбрать угол отклонения нити от положения равновесия, либо x-координату груза. Для математического маятника этой одной координаты хватило бы, однако, в зависимости от описываемой системы число обобщенных координат может быть больше.
Построим теперь пространство, осями которого являются обобщённые координаты. Оно называется конфигурационным пространством. В случае маятника оно будет одномерным, в случае свободной частицы в трёхмерном пространстве — трёхмерным, а в случае, если система — это 30 свободно двигающихся частиц, то размерность этого пространства будет 90.
Координаты произвольной точки конфигурационного пространства — это значения всех обобщённых координат в какой-то момент времени, и это важно, потому что такая точка однозначно соответствует какому-то состоянию нашей системы.
Выберем две точки в конфигурационном пространстве! Будем считать, что одна из них — это начальное положение системы, вторая — конечное. Соединим их некоторой кривой (обратите внимание на рисунок). Такая кривая — траектория в конфигурационном пространстве, непрерывно проходится по состояниям системы. Вот тут нам и необходимо понятие функционала.
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
🌟Постулируется действие — это функционал, который берёт на вход траекторию между начальной и конечной точками конфигурационного пространства и на выходе выдаёт число. Можете вообразить, как вы слегка деформируете траекторию, и при этих деформациях действие тоже слегка меняется.
Далее постулируется принцип наименьшего действия. В реальном мире реализуется такой сценарий эволюции системы, который соответствует той траектории в конфигурационном пространстве, вдоль которой действие минимально (на рисунке она изображена фиолетовым).
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
⚛️Формализовав принцип наименьшего действия на строгий язык математики и применив магию матана, можно получить явный вид уравнений, решение которых даст уравнения движения. Эти уравнения движения совпадают с уравнениями, которые можно получить решая 2 закон Ньютона.
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
⚛️ Спасибо за внимание! #физ_инфо