🔴Доска Гальтона [Galton Board] (также распространены названия квинкункс, quincunx и bean machine) — устройство, изобретённое английским учёным Фрэнсисом Гальтоном (первый экземпляр изготовлен в 1873 году, затем устройство было описано Гальтоном в книге Natural inheritance, изданной в 1889 году) и предназначающееся для демонстрации центральной предельной теоремы. Если нарисовать на задней стенке треугольник Паскаля, то можно увидеть, сколькими путями можно добраться до каждого из штырьков (чем ближе штырёк к центру, тем больше число путей).

3000 стальных шариков падают через 12 уровней ветвящихся путей и всегда в конечном итоге соответствуют распределению кривой нормального распределения. Каждый шар имеет шанс 50/50 следовать за каждой ветвью, так что шары распределяются внизу по математическому биномиальному распределению.

▪️ Каждый шарик движется по двоичному дереву решений (влево/вправо на каждом уровне). Количество путей, ведущих в конкретную ячейку k на нижнем уровне n, в точности равно биномиальному коэффициенту C(n, k). Это означает, что доска Гальтона — это механическая, физическая реализация треугольника Паскаля. Распределение шариков в лотках визуализирует n-ную строку треугольника (нормированную на 2ⁿ ).

▪️ Известно, что при большом числе рядов (n) биномиальное распределение стремится к нормальному (центральная предельная теорема в действии). Но малоизвестно, что сходимость распределения позиции шарика к нормальной кривой происходит с разной скоростью в разных частях доски. В центре (около математического ожидания) аппроксимация становится неплохой уже при n=12-15, в то время как на "хвостах" (крайние ячейки) для хорошей аппроксимации нужно гораздо больше рядов. Это связано с локальной теоремой Муавра-Лапласа.

▪️Если запускать шарики по одному и смотреть, куда они падают, человеческому глазу кажется, что они образуют "кластеры" и падают неравномерно, особенно в начале эксперимента. Это проявление закона малых чисел и случайных флуктуаций. Наш мозг плохо оценивает случайность: равномерное распределение выглядит как чередование, а истинно случайное — как сгустки. Доска Гальтона наглядно демонстрирует эту психологическую иллюзию.

▪️Казалось бы, доска детерминирована. Но на самом деле микроскопические различия в начальном положении и импульсе шарика, а также неидеальности конструкции (например, точность формы и положения штифтов) приводят к тому, что траектория каждого шарика является практически непредсказуемой. Это пример детерминированного хаоса в простой системе. Два шарика, выпущенных почти из одной точки, могут получить совершенно разные траектории.

▪️В классической доске вероятность отклонения влево/вправо равна 1/2. Если сместить ось симметрии штифтов или сделать их разного размера, вероятность станет p ≠ 1/2. Тогда распределение в лотках перестанет быть симметричным и будет описываться общим биномиальным распределением B(n, p). Физически это можно смоделировать доской, установленной под углом.

▪️Траекторию одного шарика можно рассматривать как простое симметричное случайное блуждание в одном измерении (где каждый ряд — это шаг по времени, а отклонение — шаг в пространстве). Таким образом, доска Гальтона моделирует дискретный аналог броуновского движения. Плотность распределения шариков внизу аппроксимирует фундаментальное решение уравнения диффузии (распределение Гаусса).

▪️Интересный практический вопрос: сколько шариков нужно запустить, чтобы эмпирическое распределение в лотках "гладко" совпало с теоретической биномиальной кривой? Оказывается, это число должно быть существенно больше, чем количество лотков (n+1). Эмпирическое правило для построения гистограмм (правило Стёрджеса) здесь неприменимо, так как мы знаем истинное распределение. Для n=20 может потребоваться несколько тысяч шариков, чтобы флуктуации в крайних ячейках (где теоретическая вероятность мала) стали не так заметны.

Эти факты показывают, что простая на первый взгляд доска Гальтона является глубокой иллюстрацией ключевых концепций теории вероятностей, статистики, хаоса и комбинаторики.

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib