⚫️ فکر می‌کنید جمع اعداد طبیعی چند می‌شه؟

مجموع رامانوجان
این سری (یا Ramanujan Summation) می‌گه که

اگر همه‌ی اعداد طبیعی تا بینهایت رو جمع کنیم؛ حاصل می‌شه منفیِ یک دوازدهم!!!

اثبات این قضیه رو با استفاده از سری‌های دیگه انجام می‌دیم:

A = 1–1+1–1+1–1 ⋯ = 1/2
اثبات ۱:
چون با توجه به اینکه این سری رو در کجا متوقف کنیم جواب یا صفره یا یک
پس می‌تونیم جواب این سری رو میانگین این دو عدد بذاریم؛ یک دوم.
اثبات ۲:
1-A=1-(1–1+1–1+1–1⋯)
1-A=1–1+1–1+1–1+1⋯
1-A =A
1-A+A=A+A
1 = 2A
1/2 = A

B = 1–2+3–4+5–6⋯ = 1/4
اثبات:
A-B = (1–1+1–1+1–1⋯) — (1–2+3–4+5–6⋯)
A-B = (1–1+1–1+1–1⋯) — 1+2–3+4–5+6⋯
A-B = (1–1) + (–1+2) +(1–3) + (–1+4) + (1–5) + (–1+6)⋯
A-B = 0+1–2+3–4+5⋯
A-B = B
A = 2B
1/2 = 2B
1/4 = B

حالا می‌ریم سراغ اصل مطلب:
C = 1+2+3+4+5+6⋯ = ?

B-C = (1–2+3–4+5–6⋯)-(1+2+3+4+5+6⋯)
B-C = (1-2+3-4+5-6⋯)-1-2-3-4-5-6⋯
B-C = (1-1)+(-2-2)+(3-3)+(-4-4)+(5-5)+(-6-6)⋯
B-C = 0-4+0-8+0-12⋯
B-C = -4-8-12⋯
B-C = -4(1+2+3)⋯
B-C = -4C
B = -3C
1/4 = -3C
❗️C = -1/12

که یعنی مجموع تمام اعداد طبیعی میشه منفیِ یک دوازدهم!

ممکنه بگید از لحاظ شهودی مشخصه که این درست نیست! درست هم می‌گید و این یک پارادوکسه
چون هیچوقت از لحاظ شهودی نمیتونیم تمام اعداد تا بینهایت رو جمع کنیم، و هرجا توی این سری بایستیم و بگیم مجموع اعداد ۱ تا n، دیگه این معادله جواب نمیده!