‍ توصیف هندسی میدانهای پیمانه‌ای (Fibre bundles)

سه نیروی بنیادی الکترومغناطیس، هسته‌ای قوی و هسته‌ای ضعیف با تئوری میدانهای پیمانه‌ای فرمولبندی می‌شوند. با استفاده از ساختار ریاضی دسته‌های فیبر (Fibre bundles) می‌توان توصیفی هندسی از این میدانها ارائه کرد.
این ساختار ریاضی شامل یک فضای پایه، که در کاربردهای فیزیکی همان فضازمان ۴ بعدی است، و یک سری فضای فیبر یا فضای داخلی است که روی هر نقطه از فضای پایه تعریف می‌شود. این فضای فیبر می‌تواند اطلاعاتی مانند فاز کوانتومی ذره را داشته باشد. یک موجود ریاضی (که در اصطلاح تخصصی‌تر تک-فرم است) شیوه اتصال فضاهای فیبر به یک دیگر را مشخص می‌کند. این تک-فرم که در دیدگاه فیزیکی همان میدان پیمانه‌ای است، تعیین می‌کند که چطور می‌توان در فضاهای فیبر حرکت کرد. درواقع این تک-فرم اتصال بین فضاهای فیبر است. اتصال، نقاط مجاور یک نقطه در فضا را تعیین می‌کند.
علاوه بر اینها یک نگاشت یا تابعی وجود دارد که هر نقطه از فضای پایه را به یک نقطه از فضای فیبر می‌برد و همچنین هر نقطه از فضای فیبر را به فضای پایه می‌نگارد. یعنی ارتباطی یک به یک بین نقاط فضای پایه و فضای فیبر وجود دارد. هر نقطه در فضای فیبر همزادی در فضای پایه دارد.
با استفاده از این اتصال‌ها که موقعیت نسبی نقاط در فضاهای فیبر را مشخص می‌کنند، می‌توان انحنا را محاسبه کرد. این انحنا که یک دو-فرم است در دیدگاه فیزیکی میدان نیروست.
بنابراین میدان نیرو در این فضاهای فیبر یک انحنا ایجاد می‌کند. هنگامی که نیرو وجود نداشته باشد، فضاهای فیبر بدون انحناست. این انحنا، با توجه به اینکه بین دو فضای پایه و فیبر نگاشت یک به یک وجود دارد، موجب تغییر مسیر حرکت ذره در فضای ۴بعدی معمولی می‌شود. بنابراین انحنا در فضای فیبر را به عنوان نیرو مشاهده می‌کنیم.
تصویر به صورت شماتیک این موضوع را نشان می‌دهد. مسیر Y در فضای فیبر که به علت میدان نیرو ایجاد شده است، مسیری منحنی شکل در فضازمان ایجاد می‌کند. در این تصویر هرکدام از خطوط عمودی یک فیبر را نشان می‌دهد. خطوطی که بین فیبر ها کشیده شده اتصال ها هستند.
این دیدگاه هندسی شباهت جالبی به نسبیت عام دارد. البته نیروی گرانش به علت خمیدگی خود فضازمان است.

🆔 @Physics3p