‍ از آنجایی که ساز و کار دنیای فیزیکی از قرارداد های ریاضی ما مستقل هستند، باید بتوان قوانین فیزیک را به شکل ناوردا برای یک دستگاه مختصات عام نوشت. بنابراین لازم است شکل تبدیل کمیت‌های فیزیکی بین دو دستگاه را بدانیم. برای مثال قانون دوم نیوتن در دستگاه دکارتی به صورت F=ma نوشته می‌شود. این معادله در شکل هموردای خود در تصویر آمده است. با توجه به دستگاه مختصاتی که اختیار می‌کنیم، x ها و ضریب کریستوفل که با گاما نشان داده شده است، تعیین می‌شوند. x با بالانویس i مختصه های دستگاه مختصات عام هستند. برای مثال در دستگاه دکارتی این x ها همان مختصه‌های x,y,z هستند یا در دستگاه استوانه‌ای r,θ,z هستند. همچنین F با بالانویس i مولفه‌های نیرو را در راستای x ها نشان می‌دهد.

بدین ترتیب با توجه به نوع تبدیل کمیت‌های فیزیکی را به سه دسته‌ی اسکالر، بردار و تانسور تقسیم می‌کنیم. اسکالر ها کمیت هایی هستند که با تبدیل دستگاه تغییری نمی‌کنند مانند جرم. جرم یک سیب چه در دستگاه S چه در ′S یکسان است. بردار ها به دو دسته‌ی کواریانت و کنترواریانت تقسیم می‌شوند که هرکدام شیوه تبدیل خاص خود را دارند. تانسور ها از ترکیب این بردارهای کواریانت و کنترواریانت ساخته می‌شوند. جالب است بدانید که تانسور ها تا پیش از نسبیت عام صرفاً موجودات ریاضی محض بدون کاربرد بودند. با ظهور نسبیت عام تانسورها به فیزیک وارد شدند و کاربرد گسترده‌ای یافتند. البته ریاضیدانان تانسور ها را به این شکل تعریف نمی‌کنند.
🆔 @Physics3p