یکی از روشهای هم ارز با معادلات نیوتن، معادلات لاگرانژ است. لاگرانژی یک سیستم به صورت L=T–V تعریف می‌شود. در این رابطه T انرژی جنبشی و V انرژی پتانسیل می‌باشد. با حل معادلات لاگرانژ برای یک سیستم می‌توان معادله حرکت آنرا بدست آورد. جذابیت مسئله از جایی شروع می‌شود که پایستگی ها نتیجه‌ی تقارن ها هستند.
با استفاده از تعریف تابع لاگرانژی می‌توان ثابت کرد:

۱) تقارن تحت انتقال در مکان موجب پایستگی تکانه خطی می‌شود. به بیان دیگر طبق اصل همگنی فضا، تمامی نقاط فضا هم ارز با یکدیگر هستند و هیچ نقطه‌ی ارجحی وجود ندارد. با در نظر گرفتن این شرایط، از تعریف لاگرانژی سیستم نتیجه می‌شود که تکانه خطی پایسته است.

۲) تقارن تحت دوران موجب پایستگی تکانه زاویه‌ای می‌شود. این تقارن تحت دوران همان همسانگردی فضاست.

و در آخر:

۳) همگنی زمان یا تقارن تحت انتقال در زمان، هامیلتونی را به عنوان ثابت حرکت یا همان کمیت پایسته نتیجه می‌دهد که در شرایط خاصی هامیلتونی با انرژی برابر است یعنی H=T+V=E. یعنی پایستگی انرژی ناشی از همگنی زمان است.

🆔 @Physics3p