‍ 🔷 تعادل هیدرواستاتیکی (بخش دوم)

اکنون به معادله آخر باز می گردیم و نقش قضیه ویریال را اندکی با جزئیات بیشتر بررسی می کنیم. با صفر قرار دادن شتاب نتیجه می شود:
dP/dr = -Gm(r)ρ(r)/r^2
اگر آن را در 4πr^3 ضرب کرده و انتگرال بگیریم، به معادله اول در تصویر خواهیم رسید. سپس هر یک از طرفین راست و چپ معادله را به طور جداگانه بررسی می کنیم. طرف چپ به طور جز به جز انتگرال گرفته می شود و معادله دوم در تصویر را نتیجه می دهد.

اولین جمله طرف راست به علت اینکه سازه r در مرکز صفر است، صفر می شود و سازه P(r) در سطح صفر خواهد بود. به طور کلی می توانیم جمله طرف راست (اما هنوز در آن فوائدی وجود دارد) را با فرض این که سازه فشار را می توان با متوسط آن برابر گرفت و از انتگرال خارج کرد، ساده نمود؛ بنابراین به رابطه سوم در تصویر دست می یابیم.

که ,<P> فشار متوسط و V حجم می باشد. اکنون، با بازگشت به طرف راست معادله اول در تصویر، متوجه می شویم که آن درست برابر با انرژی پتانسیل گرانشی می باشد (معادله چهارم در تصویر) که در آن U برای انرژی پتانسیل و M برای جرم کل ستاره به کار می رود.

اکنون می توانیم 2 معادله آخر را ترکیب کنیم تا نتیجه شود:
<P> = -U/3V
این درست شکل دیگری از قضیه ویریال است؛ در اینجا می بینیم که فشار متوسط برابر با 1/3 چگالی انرژی پتانسیل گرانشی است.

🔺منبع: کتاب نجوم و اختر فیزیک مقدماتی "زیلیک - گرگوری"

🆔@physics3p