▪️شراب 300 سالۀ ریاضیات:
(رابطه‌ی پنهان میان کوانترنیون‌ها و مکانیک ماتریسی هایزنبرگ)
🆔 @Physics3p

نزدیک به 300 سال پس از پیشنهاد اعداد موهومی(مختلط) توسّط کاردانو، یک زبان‌شناس و دائم‌الخمر ایرلندی گام اصلی را برداشت. این دائم‌الخمر ـ که بعدها به بزرگ‌ترین ریاضی دان ایرلند بدل شد ـ ویلیام همیلتون نام داشت.

از نظر جبری می‌دانیم که یک نقطه را می‌توان در صفحۀ کارتزین توسّط یک جفت عدد حقیقی مانند (x,y) ـ که مختصّات آن نقطه نامیده می‌شود ـ نشان داد. بدیهی است که هر نقطه در «صفحۀ مختلط» نیز با یک قسمت حقیقی و یک قسمت موهومی مشخص می‌شود.

در واقع، همیلتون نشان داد که هر عدد مختلط مانند (x+iy) ، «حقیقتاً» چیزی نیست جز جفتی از اعداد حقیقی(x,y).

وی نشان داد که حتّی می‌توان بر روی جفت‌های مختلفی از این اعداد، قواعدی جبری نظیر جمع و ضرب انجام داد. همیلتون قصد داشت تا یک جبر سه بعدی مختلط اختراع کند، زیرا اعداد مختلط روشی قدرتمند برای مطالعۀ مکانیک سیّالات، گرما، گرانش، صوت و تقزیباً هر چیزی که در حوزۀ فیزیک و ریاضی جای می‌گرفت را فراهم می‌آورد. از این رو یک محدودیت وجود داشت: اعداد مختلط که دو جفتی بودند مربوط به فضای دو بعدی بودند نه فضای سه بعدی که ما در آن زندگی می‌کنیم.

همیلتون به دنبال حلّ این مشکل بود. وی ابتدا عملیات جبری را روی سه‌تایی‌های مختلط پیاده کرد و خیلی ساده هم می‌توانست دو یا چند سه‌تایی مختلط را با هم جمع کند. امروزه این نوع جمع را با نام «جمع برداری» می‌شناسند.
مشکل اصلی، ضرب بود. حتّی برای اعداد مختلط هم ضرب کردن به سادگی جمع کردن نیست. در مورد اعداد مختلط هم این‌طور نیست که شما برای به دست آوردن حاصل ضرب دو عدد، اجزای نظیر آن‌ها را در هم ضرب کنید. اگر چنین کاری انجام دهید، درست است که چیزها خیلی ساده می‌شوند، ولی در عوض دو رویداد مهلک و ناخوشایند پیش می‌آید.

اوّلین آن‌ها این است که دیگر در این دستگاه ریشۀ دوّم عدد 1- وجود نخواهد داشت! دوّمی هم این است که امکان دارد که شما دو عدد غیر صفر را در هم ضرب کنید و حاصل آن‌ها صفر شود! چنین مسائلی ـ که به «مقسوم علیه‌های صفر» منتهی می‌شوند ـ برای تمام روش‌های جبری دردسرساز هستند، مخصوصاً در حلّ معادلات.

در مورد اعداد مختلط ما می‌توانیم با پیروی از یک قاعدۀ کم‌تر شناخته شده برای ضرب، بر این مشکل غلبه کنیم ـ و این همان کاری بود که همیلتون انجام داد. ولی زمانی که همین ترفند را برای سه‌تایی‌ها انجام داد، به نتایج تکان‌دهنده‌ای رسید. هر چقدر هم که سعی می‌کرد نمی‌توانست از برخی نقایص مهلک اجتناب کند. او می‌توانست با این سه‌تایی‌ها عمل ضرب را انجام داده و ریشۀ دوّم 1- را هم داشته باشد، ولی فقط در صورتی که مقسوم علیه‌های صفر را در کار خود وارد کند. به نظر می‌رسید هرکاری که می‌کرد، خلاصی از دست مقسوم علیه‌های صفر غیر ممکن بود.
در نهایت که همیلتون متوجّه شد هیچ جبر سه بعدی «معقولی» وجود ندارد، به «چهارتایی»‌ها روی آورد. اعداد مختلط را می‌توان به صورت دوتایی همانند (x,y) یا به صورت (x+iy) نشان داد.

امّا اعدادی که همیلتون در نظر داشت چهارتایی‌هایی به صورت (x,y,z,w) و یا به صورت جبری آن همانند x + iy + jz + kw بودند.
به شکلی که رابطۀ زیر برقرار است:

i2 = j2 = k2 = ijk = -1

همیلتون این چهارتایی‌های زیبا را «کواترنیون» نامید.

کواترنیون‌ها می‌توانستند عملیات ضرب را بدون آن مشکلات پیش‌رو انجام دهند. در واقع گشایشی بود برای بن‌بست‌های پیشین، امّا در خود یک چالۀ «زیبا» داشت: در کواترنیون‌ها ویژگی «جا به جایی‌پذیری» برقرار نبود.

درست همانند ماتریس‌های هایزنبرگ:

Q_1 Q_2 ≠ Q_2 Q_1


▪️نویسنده: سعید گراوندی (زاحل)

🆔 @Physics3p