Будут доступны частные методы trait в классе?

Нет, частные методы trait не будут доступны в классе, который использует этот trait. Частные методы в PHP ограничены видимостью только внутри класса, в котором они были определены.

Trait не изменяет видимость своих методов. Поэтому, если trait содержит частный метод, он остается видимым только внутри этого trait. Класс, использующий trait, не будет иметь доступ к этому частному методу.

Тем не менее, trait может использовать публичные и защищенные методы, и эти методы будут доступны в классе, который использует trait.