Один мой ученик на рег этапе этого года решил вместо определения коэффициента наклона по графику (честно построенному на миллиметровке), просто усреднить y_i/x_i для всех точек. Давайте сейчас обсудим то, почему такой подход статистический неверный, зачем придумывают сложные методы типо МНК, и как им пользоваться.

Идея метода МНК - минимизировать сумму квадратов отклонений наших точек (x_i, y_i) от какой то теоретической функции f(x), и вычислить параметры этой функции посредством этой оптимизации (например f(x) = ax + b, тут a и b - это параметры по которым происходит оптимизация). Первый вопрос - откуда взялись квадраты, почему мы не можем использовать модули, или степень 3/2 - ответ на него довольно сложный, и залезает далеко за пределы школьного понимания статистики, на самом деле в некоторых случаях нужно использовать и модули)) Второй вопрос - как проводить эту минимизацию? Тут следует понимать что x_i и y_i это просто числа, экспериментальные точки, а менять мы можем только параметры. Так что мы можем просто взять производную по каждому параметру и получив систему из числа уравнений равной числу неизвестных параметров, и попытаться ее решить. Для супер простого случая y = ax результат очевиден - ((a x_i - y_i)^2 ) ' = 2 (a x_i - y_i) x_i = 0 (Тут ведется суммирование по i). Как видим a легко выражается из уравнения выше, см. картинку. Попытайтесь самостоятельно провести аналогичные вычисления для более сложных зависимостей, определив формулы по которым можно определить их коэффициенты.

Теперь представим что мы например снимаем зависимость тока от напряжения на резисторе, пытаясь определить его сопротивления. Усреднив отношения U_i/I_i по всем точкам мы тоже получим некоторое "среднее сопротивление", которое вприцнипе будет не равно вычисляемому по МНК (или полученному через график). Но в чем же разница? Какой метод правильнее? Ведь резистор у нас один, у него не может быть одновременно 2 значения сопротивления. И почему в школах и на олимпиадах нас всегда заставляют строить графики, почему же просто не усреднять данные, это же намного быстрее и проще?

Существует очень хорошая геометрическая интепритация этого метода. Усреднение углового коэффициента k можно воспринимать так - проведем по вектору из начала координат в каждую точку, потом их нормируем и сложим. Наклон суммы и будет равен нашему k_среднее. В такой интепритации проблема метода становится очевидной - он безумно сильно перееоценивает точки близко к 0, и недооценивает то что далеко. Если начальные точки будут немного отходить от прямой вверх (совсем чуть чуть) - это сильно утащит наш средний тангенс в бОльшую сторону, даже если это приведет к тому что точки ближе к концу будут сильно не попадать. С дальними точками все наоборот. Оно могут сильно не попадать на прямую, но укладываться в малое угловое отклонение.

Что бы было проще осознать этот факт я сделал интерактивную систему (возможно долго грузится из за большой нагрузки и слабости моего сервера. Для использования с телефона перейдите в альбомную ориентацию), там можно подергать ползунки меняя разные параметры. Она генерирует данные, и специально совсем чуть чуть ошибается в начальных точках. Это приводит к тому что итоговая прямая идет совсем не по точкам, совпадая только в начале.

Так же она строит гистограмму распределения танегенсов уголов, с которой видно что поиск срееднего значения пытается учитывать все точки, а МНК (или проведения графика по линейке, по правилу сверху столько же сколько и снизу) - "ищет большую кучность точек", некоторое самое вероятное значение коэффициента наклона.

P.S. С телефона график нормально отображается если его использовать в альбомной ориентации. Так же прикрепляю ссылку на гугл колаб, если хотите понять как тут все работает и возможно провести какой то свой опыт.

P.P.S. Ученик в итоге ошибся так как график был убывающим и шел не из 0 (9класс, прак с гайкой, остывание гайки)))

P.P.P.S. запоминать формулы мнк и вручную считать суммы на олимпиадах не обязательно, белый Касио умеет это делать сам, в режиме "Statistics"