Проблема в этом доказательстве в грубой работе с малыми величинами и неверными предельными переходами. Если мы по честному запишем циркуляцию, мы увидим, что помимо слагаемых с нормальными составляющими поля в точках А и В умноженных на толщину δ, появляются еще тангенциальные составляющие поля вдоль верхней (и нижней) границ прямоугольника умноженые на AB (они вообще то переменные, давайте для простоты называть вместо них какое то эффективное значение). Конечно, можно устремить δ к 0, и, пользуясь нормальностью поля на отсекающей плоскости и непрерывностью, говорить, что эта составляющая близка к 0. Но вместе с этим у нас к 0 будет стремиться и циркуляция на нормальных участках, равная (E_a - E_b) δ. И так сразу не очень понятно, что будет уходить в 0 быстрее. Чуть более подробно я это расписал в файле, прикрепленном к посту.
———-
Циркуляция по горизонтальными сторонам прямоугольника будет набегать из-за появившейся тангенциальной составляющей поля на небольшом расстоянии δ/2 от "отсекающей" плоскости. Что бы исследовать скорость появления этой составляющей, мы должны исследовать dE_x / dz в точках (x, 0, 0) (х - какое то число от 0 до R) . Давайте покажем, что эта величина не является малой.
Поле сферы хорошо считается на оси кольца (выражается в виде стандартной функции) - так что вначале кажется хорошей идеей искать эту производную в 0, ведь нам достаточно найти одну точку где производная не равна 0 чтобы судить о набегании интеграла. Но это не так, расчет покажет, что как раз в этой точке все хорошо, и производная равна 0. Это следует из равенства 0 тангенциальной составляющей поля на всей оси симметрии полусферы (на рисунке - пунктир). Окей, особо большие проблемы у нас возникают ближе к краям, давайте тогда тоже посмотрим в ту сторону

Расчет поля в явном виде не на оси довольно сложная задача, вполне возможно даже не решаемая (как минимум на этот раз Wolfram mathematica не справилась). Поэтому я буду решать ее численно. Код опять же можете посмотреть в том же колабе. Я нарисовал силовые линии в небольшой области вокруг сферы а также построил зависимость нужной нам производной от x. Как видим она не равна 0, чем ближе мы к краю тем это более явно.

Получается, доказательство этого факта в учебнике неверное, как и сам факт, который он доказывает. Чему нас это способно научить? Во-первых, с бесконечно малыми величинами нужно работать очень аккуратно, тут легко допустить ошибку и сложно потом ее найти. Во-вторых, нужно мыслить критический, и ставить под сомнение факты, в которых вас пытаются убедить. Ошибки бывают у всех, и даже в печатном МФТИшном пособии по физике)))