Матан по Гейне или по Коши? А может лучше мажорантный подход или ультрафильтры?

Внезапно, последние пару недель в зоне видимости случилось несколько заруб на тему того, как лучше рассказывать матанализ. Одни считают, что лучше всего «по Коши»: эпсилон-дельта язык и погнали наши городских. Напишем кванторы, сделаем хитрые оценки и всё пучком. Другие (например Игорь Воронцов), считают что подход Гейне прозрачнее и геометричнее. И вообще, кванторы это сложно. А стрелочки → нагляднее.

Где-то начинают хихикать и потирать руки специалисты по матлогике, нестандартному анализу и прочим таким вещам. Потому что они-то знают, что настоящие пацаны (и пацанки) строят пределы по ультрафильтрам. Вот тут-то самая мякотка и настоящая ноука! И даже Теренс Тао, в том же духе думает.

Но есть и ещё один подход, который согреет (чёрное) сердце алгебраиста. А именно ввести класс эквивалентных функций и сказать, что функция имеет предел в точке, если класс эквивалентности содержит константу. Эквивалентность можно например ввести через О символику.

Топологи на этом месте с лицом Колина Фаррелла наверное говорят «ну да, ну да, пошли мы нахрен» и напоминают, что нормальное определение вообще топологическое.

Я вот не придумал (не вспомнил) других подходов к определению предела функций. А они наверняка есть. Так что предлагаю наконец-то выяснить какой предел лучше!