Леттерман взвешивает Солнце

«Из размерных соображений» — это такой трюк у физиков, в самой парадоксальной формулировке звучит так: если мы собрали искомую величину с правильной размерностью из всех остальных величин, известных по условию задачи, то это и есть ответ! Не слишком точный — зато никаких тебе уравнений, бери и пользуйся! Нет, конечно, если нужно поточнее, потом мы всё решим — но куда как проще решать, когда ответ мы знаем заранее! (Когда Я. Б. Зельдовича — гения-самоучку, между прочим, едва ли не единственного академика без высшего образования — спросили, как ему удаётся так здорово всё решать, он, согласно апокрифам, ответил: «Я просто берусь за задачи, к которым уже знаю ответ».)

Не впечатлены? Нужен пример. Давайте предложу такой: взвесим Солнце! Что нам вообще о нём известно? Не так уж много. Расстояние до Земли (его Кассини довольно точно оценил ещё в 1672 году) — r = 150 млн км. Период обращения Земли по орбите — T = 365 дней (с хвостиком). И ньютоновский закон всемирного тяготения:
F = GmM/r², где m и M — соответственно массы Земли и Солнца, а G = 6,7 × 10⁻¹¹ м³·кг⁻¹·с⁻² — гравитационная постоянная.

Хватит нам этого? Давайте смотреть.

Сначала вспомним ещё один ньютоновский закон: F = ma. А a в нашей задаче — это что? Центростремительное ускорение (Земля — это шарик, привязанный к Солнцу невидимой верёвкой):

a = rω², ω = 2π/T — угловая скорость.

Подставим всё это в формулу силы тяготения:

mr(2π/T)² = GmM/r².

Ура, массу Земли можно сократить! (Это нам сильно поможет — мы ж её тоже не знаем.)

Теперь найти массу Солнца проще простого:

M = 4π²r³/(GT²).

Остаётся подставить числа (только обязательно в одной системе единиц — пусть всё будет в СИ: метры, секунды, килограммы). Получается примерно 2 × 10³⁰ кг.

А точный ответ знаете какой?

2 × 10³⁰ кг!

Наш метод дал совершенно корректный результат!

Это, разумеется, случайность (просто Земля действительно с большой точностью — шарик на верёвочке, нюансы есть, но не слишком значительны). Оценивая из размерных соображений, легко ошибиться в разы и даже на порядок. Главное, что не больше!

Математика от такой точности, наверное, хватил бы инфаркт. А по меркам физики — отличный результат! Практически ничего не решая, получаешь адекватный ответ.

Из размерных соображений чего только не выводится, на самом деле. Даже теорему Пифагора можно доказать!

Если вам было интересно, то у меня таких текстов — вагон и маленькая тележка, в моём новом научпоп канале "Ну ничего себе!" Подписывайтесь из любопытства. Подписывайтесь для пользы — например, узнать, что делать, если укусила гадюка (спойлер: ничего), опасен ли ботулизм (да, но чтобы его словить, надо очень уж постараться – куда проще умереть в автоаварии) и как обнести букмекерскую контору. Подписывайтесь из симпатии ко мне — вы же меня знаете, помните, любите, и это взаимно ❤️ Ну или хотя бы из размерных соображений 😁

#про_науку #про_жизнь
#Леттерман