Евклид был не прав?

Помните школьный курс геометрии? Кроме прочего на примере геометрии начинают учить формулировке теорем и логике их доказательства, методу "от противного" и т.д.

Школьная программа наследует древнегреческому курсу, разработанному Евклидом (сохранилось множество фрагментов учебников и перекрёстных ссылок). При слове "Евклид" прилежным ученикам сразу вспоминаются формулировки "аксиом": "параллельные прямые не пересекаются", "через две точки можно провести одну-единственную прямую", и т.д.

Аксиомы вводятся вроде бы всерьёз: смотрите, мол, как из небольшого количества интуитивно принимаемых утверждений можно уже строгим логическим построением вывести множество полезных теорем.

Проблема в том, что уже в самых первых теоремах школьной геометрии аксиомы на самом деле стыдливо прячут в тёмный чулан, вещи в котором не полагается пристально перебирать.

Попробуем припомнить как доказывается первый признак равенства треугольника (треугольники равны по двум сторонам и углу между ними). Учитель заходит к семиклассникам с козырей:

– Шаг один: наложим угол одного треугольника на другой вот так (показывает руками)

Извините, а что значит "наложим"?! Это какой аксиоме Евклида соответствует? Почему при накладывании мы не можем поднять трегуольник с листа и перевернуть, положив на лист задней стороной? Это какой аксиомой запрещено? А когда мы будем доказывать, что, к примеру, параллельный перенос точек порождает равную фигуру, мы не будем ли опираться на этот же первый признак равенства треугольников? То есть сейчас мы этот признак доказываем через будущее следствие из него? И вообще, хватит руками размахивать, где строгие рассуждения от аксиом?!

Секрет в том, что в этом месте к размахиванию руками вместо доказательства прибегал и Евклид. Не было в его системе аксиом возможности доказать признаки равенства треугольников.

И только в самом конце 19-го века, в 1899 году, у современных математиков (Д. Гильберта) дошли руки перебрать чулан школьной геометрии и сформулировать систему из 21 аксиомы (позже выяснилось что одна лишняя, достаточно 20). И что бы вы думали? Первый признак равенства треугольников включен в качестве аксиомы! (В немного ослабленном виде: постулируется что у треугольников с равными сторонами и углом между ними равны оставшиеся углы).

А в школах-то и не в курсе!

#mathematics