А ещё — там было очень интересное место, которое от нас потребовало существенной аккуратности.

Отображение x->2x на окружности необратимо. Но давно придумали конструкцию (соленоид Смейла-Вильямса), как можно за счёт увеличения размерности превратить его в обратимое. А именно, рассматривается отображение полнотория S^1\times D в себя,
(x,z) -> (2x mod 1, (z/10) + exp(2πix)),
которое на каждом диске-меридиане сильно сжимает, и «разносит в стороны» образы дисков. Получается обратимое отображение полнотория внутрь себя, которое можно итерировать, диффеоморфизм на образ. У Юлия Сергеевича Ильяшенко в его брошюре
https://old.mccme.ru//dubna//books/pdf/ilyashenko-attr.pdf
есть соответствующая картинка на с. 9.